Розділ 2. Логіко-математичні моделі

2. 1 Висловлення і операції над ними

Побудова математичної теорії ґрунтується на побудові математичних речень, які мають певний зміст, встановленні зв’язків між ними за допомогою правил логіки — науки про закони і форми мислення, загальні схеми мислення.

Будемо вважати поняття висловлення первісним і позначати висловлення буквами А, В, С… . Змістовно висловлення є реченням, про яке можна сказати істинне воно чи хибне.

Над висловленнями можна виконувати операції. Задання операції полягає у визначенні істинності утвореного висловлення за значеннями істинності даних висловлень. Якщо позначити істинність — 1, а хибність — 0, то означення логічних операцій можна задати у вигляді таблиці:

		диз’юнкція	кон’юнкція	імплікація	еквівалентність
А	В	А  В	А  В	А  В	А  В
1	1	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0
1	0	1	0	0	0
0	0	0	0	1	1

Запереченням даного висловлення А називають висловлення , яке хибне, якщоА істине і істине, якщо А хибне.

З даних висловлень за допомогою вказаних операції можна складати нові висловлення, наприклад, , (А  В)  (В  С) тощо. Вираз, складений з логічних зміних А, В, С…, тобто змінних, які приймають два значення — 1 або 0, за допомогою логічних операцій називається логічним виразом.

2. 2 Висловлювальні форми і операції над ними

Висловлювальна форма — це речення, яке містить одну або кілька змінних, і яке перетворюється у висловлення, якщо всім змінним надати певні значення. Висловлювальна форма виражає якусь властивість визначеного класу об’єктів або відношення, яке має місце між ними. Вона може бути представлена або в вигляді граматичного речення, або в вигляді формульного виразу.

Приклад 1. Речення "Функція f в точці х₀ неперервна" містить дві зміні f и х₀. Тому воно представляє собою висловлювальну форму від двох змінних. Якщо ж замість змінної f підставити, наприклад, функцію f(х) = х², а замість х₀ — будь-яке дійсне число, то отримаємо істинне висловлення. Якщо ж замість f підставити tg, а х₀ надати значення , то отримаємо хибне висловлення.

Приклад 2. Рівняння, системи рівнянь, нерівності, які містять одну або кілька змінних, представляють собою висловлювальні форми. Так, рівняння х² – 5х + 6 = 0 перетворюється в істинне висловлення при х₁ = 2 и х₂ = 3. Всі інші значення змінної перетворюють його в хибне висловлення.

Множина значень змінної, які перетворюють висловлювальну форму в істинні (хибні) висловлення, називають областю її істинності (хибності). Так, якщо в прикладі 1 замість f підставити функцію х², то область істинності висловлювальної форми, яка залежить тепер від однієї змінної х₀, представляє собою множину всіх дійсних чисел. В прикладі 2 область істиності складається з двохелементної множини {2; 3}.

Висловлення (або висловлювальна форма) називається складним, якщо воно містить в собі не менш двох висловлень, які з’єднані між собою логічними зв’язками. Висловлення (або висловлювальна форма), які не є складними, будемо називати простими.

Приклад 3. Висловлення “Функція х  х³ визначена і зростає на R” є складним. Воно складається з двох простих: "Функція х  х³ визначена на R" і "Функція х  х³ зростає на R”, які з’єднані «і».

Приклад 4. Висловлювальна форма "х  4" — складна. Вона складається з двох простих: "х > 4" і "х = 4", які з’єднані сполучником "або".

Складні висловлювальні форми утворюються з простих за допомогою логічних операцій.

1. Заперечення. Нехай А(х) — висловлювальна форма, яка визначена на множині D. Тоді , за означенням, така висловлювальна форма, яка перетворюється в істинні висловлення для тих і тільки тих х  D, при яких А(х) перетворюється в хибні висловлення.

2. Кон’юнкція. Нехай А(х) і В(х) — дві висловлювальні форми, які визначені на деякій множині D. Кон’юнкцією А(х)  В(х) називається така висловлювальна форма, яка істина при тих х  D, при яких А(х) і В(х) перетворюються в істині висловлення.

Приклад 5. Нехай A(f) — висловлювальна форма: "Функція f неперервна при всіх х  R", а В(f): "Функція f зростає при всіх х  R". Тоді їх кон’юкція А(f)  В(f) істина для тих f, для яких А(f) і В(f) істині висловлення одночасно.

3. Диз’юнкция. Нехай А(х) і В(х) — дві висловлювальні форми, які визначені на множині D. Тоді диз’ьюнкцією A(x)  В(x) називається така висловлювальна форма, яка істина при тих х  D, при яких хоча б одна з висловлювальних форм перетворюється в істине висловлення.

4. Імплікація. Якщо А(х) і В(х) — дві висловлювальні форми, які визначені на множині D, то імплікацією А(х)  В(х) називається така висловлювальна форма, яка хибна при тих і тільки тих x  D, при яких А(х) перетворюється в істинне висловлення, а В(х) — в хибне.

5. Еквіваленція. Еквіваленцією А(х)  В(х) називається така висловлювальна форма, яка істина при тих і тільки тих x  D, при яких А(х) і В(х) перетворюються одночасно в істині або хибні висловлення.

Приклад 6. Висловлювальні форми (2 – х)² – 25 = 0 и х² – 4х – 21 = 0 перетворюється в істині висловлення при х  {–3; 7} = Д₁ і в хибне висловлення при . За означенням їх еквіваленція ((2 – х)² – 25 = = 0) (х² – 4х – 21 = 0) перетворюється в істинне висловлення при всіх x  Д₁ і в хибне висловлення при всіх x  Д₂.