Донецький національний університет

МАТЕМАТИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ

ТА МЕТОДИКИ ВИКЛАДАННЯ МАТЕМАТИКИ

Павлов О. Л.

Елементарна математика

і методика викладання математики

Методичні рекомендації до виконання

індивідуальних завдань з розділу

“Логічні основи

шкільного курсу математики”

Донецк 2013

Розділ 1. Методологічні основи елементарної математики

Головною метою цього розділу є з’ясування предмету математики, відношення математичних об’єктів до реальної дійсності, шляхів виникнення математичних абстракцій і основних методів. Ці питання складають предмет методології математики, філософського осмислення особливостей математики як науки.

1. 1 Предмет математики

Яскраву характеристику математики як науки дав відомий російський фізик Л. Ландау „Науки поділяються на три категорії: природні (фізика, хімія, біологія тощо), неприродні (історія, філософія, література тощо) і надприродні (мате-матика!)”.

Особлива роль математики в системі наук пов’язана з тим, що математика вивчає форми і відношення матеріального світу незалежно від їх змісту.

„Математика наука про кількісні відношення і просторові форми матеріального світу, а також відношення і форми їм аналогічні”.

Характер математичних абстракцій складає сутність математики.

Особливості математики як науки міститься у наступних „означеннях” математики:

1. Математика — це універсальна мова призначена для запису законів природи (Г. Галілей, Лейбніц, Гіббс).

2. Математика — це наука про нескінченість (Г. Кантор).

3. Математика — це наука про дедукцію.

4. Математика — це наука про математичні структури (Бурбакі).

1. 2 Основні етапи розвитку математики

Одним з методів дослідження предмету науки є генетичний або історичний, який полягає у розгляді становлення понять, теорій у часі.

Існують різні підходи до періодизації історії математики. Найбільш загальновизнаною у вітчизняній науці є періодизація, яка запропонована А. М. Колмогоровим в 30-х роках минулого століття (див. таблицю 1).

Таблиця 1

Етапи	Назва	Терміни
I етап	Зародження математики	? – VI – V ст. до н. е.
II етап	Математика сталих величин	V cт. до н. е. – XVII ст.
III етап	Математика змінних величин	XVII cт. – середина XIX ст.
IV етап	Сучасна математика	Кінець XIX ст. – ?

У таблиці 2 вказано найбільш значні досягнення відповідних етапів.

Таблиця 2

	Коли?	Де?	Хто?	Що?
I	30-10 тис. років до н.е.	Франція	________	Прикраси, наскальні малюнки
	ХХ – ХІХ ст. до н.е.	Стародавній Єгипет, Вавилон	________	Арифметика, геометрія в за-дачах (глиняні таблички, па-піруси)
II	VI – ІII ст. до н.е.	Стародавня Греція	Фалес, Платон, Піфагор, Евклід	Дедукція, доведення, аксіома-тичний метод, елементарна геометрія, теорія чисел.
	VI – VII ст.	Індія	_____	Десятична позиційна система, від’ємні числа
	XI ст.	Схід	О. Хайям	Арифметика, алгебра, триго-нометрія
	XIII ст.	Європа	Фібоначчі	Алгебра
	XV – XVI ст.	Західна Європа	Тарталья, Вієт, Кардано	Алгебра, десяткові дроби
III	XVII ст.	Західна Європа	Декарт, Ньютон, Ферма, Лейбніц	Метод координат, похідна, інтеграл, функція
	XVIII – XIXст.		Ейлер, Лагранж, Коші, Лобачевський	Математичний аналіз, дифе-ренціальна, неевклідова гео-метрії
IV	Кінець ХІХ ст. – початок ХХ		Гільберт, Пуанкаре	Топологія, функціональний аналіз, теорія ймовірностей
	ХХ ст.		Колмогоров, Бурбакі	Диференціальна геометрія і топологія, диференціальні рівняння

Зародження математики сталося на ранній стадії розвитку людства під впливом потреб практики. Розвиток ремесла, землеробства, торгівлі й обміну, навігації, управління державою потребував удосконалення вимірювань і розрахунків.

Неможливо точно відповісти на питання, коли саме було сформовано перші математичні поняття. Однак є переконливі писемні свідчення (папіруси, глиняні таблички), які підтверджують високий рівень математичних знань у могутніх цивілізацій Стародавнього Сходу — Єгипті і Вавилоні (ІІ тис. до н. е.). Тогочасна математика мала яскраво виражений конкретний характер. Її досягнення дійшли до нас у вигляді господарських задач. У них йдеться про вимірювання довжин, площ і об’ємів, про підрахунки врожаю і величини податку, про обчислення, пов’язані із сплатою боргів та ін.

Зміна бронзового віку залізним виразилась у прискоренні зростання економіки завдяки подешевінню засобів виробництва. Це привело до пожвавлення торгівлі, активізації населення у суспільних справах. Приблизно у VII ст. до н. е. виникла грецька цивілізація, яка відрізнялась від країн Стародавнього Сходу політичним ладом і економікою.

Розквіт науки і мистецтва у Стародавній Греції супроводжувався плідними теоретичними дослідженнями. Намагання стародавніх греків зрозуміти будову Всесвіту, визначити роль і місце людини у природі і суспільстві привели до утвердження нових форм раціонального мислення. У математиці ця форма мислення виражалась у прагненні довести всі твердження, виходячи з декількох початкових. До тих часів математика мала „рецептурний” характер. Тож обґрунтування „рецептів” і стало одним з основних завдань грецьких математиків. Уже в ІІІ столітті до н. е. Евклід створив свою книгу „Начала”, у якій в дедуктивній формі виклав основи тогочасної математики. Упродовж двох тисячоліть „Начала” Евкліда вважалися взірцем строгості математичних міркувань й істотно впливали на розвиток суспільства. Втім аксіоматичний метод, за допомогою якого Евклід виклав основи геометрії, і досі залишається загальновизнаним.

У Стародавній Греції були зроблені відкриття, які на багато століть визначили напрямки розвитку математики. Поряд із досягненнями теоретичного характеру тогочасні математики мали багато суто практичних здобутків. Найвидатнішим представником прикладної науки історики вважають Архімеда. Він був не тільки математиком, але й талановитим інженером. Його праці з обчислення площ і об’ємів стали підґрунтям для сучасних методів математики.

Останній період розвитку античного суспільства пов’язаний з впливом Римської імперії, де, на відміну від Греції, математикою цікавились мало. Після прийняття християнства у V ст. н. е. римський імператор Юстиніан навіть заборонив заняття математикою під загрозою смерті.

Після занепаду Римської імперії центр математичних досліджень пере-містився на Схід. Найбільш значними досягненнями середньовічної математики є запровадження в Індії сучасної десяткової позиційної системи запису чисел, від’ємних чисел і нуля, створення арабськими математиками (аль-Караджі, аль-Біруні, аль-Хайамі та ін.) основ алгебри, яка згодом виділилась у самостійний розділ математики. Математичні дослідження на Сході мали арифметико-алгебраїчний характер і були більш прикладними, ніж за часів античності. Наприклад, арабські математики істотно розвинули тригонометрію з огляду на необхідність астрономічних досліджень та потреб навігації.

Десять століть після падіння Рима у кінці Vстоліття складають відрізок історії, який називають середньовіччям. У той час як Схід продовжував розвиватись, Західна Європа поступово занепала. Феодальні чвари, низький рівень культури і виробництва аж ніяк не сприяли розвитку науки, зокрема математики. Вивчення математики в культурних центрах того часу — монастирях — обмежувалось вивченням арифметики.

На початку ХІІ ст. економічне життя Заходу активізується, встановлю-ються торговельні зв’язки зі Сходом. Через арабів Європа знайомиться з працями грецьких вчених, в європейських країнах пожвавлюється інтерес до математики.

Кінець середньовіччя (ХV – XVI ст.) у Західній Європі характеризується бурхливими змінами, пов’язаними з розпадом феодального суспільства і формуванням ринкових відносин. Розвиток промисловості, торгівлі, мореплавства, друкарської справи привів до розквіту культури, мистецтва і науки. Математика стає важливим засобом наукового Відродження. В процесі активних занять арифметикою і алгеброю вчені створили сучасну алгебраїчну символіку. Важливий внесок у цю справу зробив Франсуа Вієт. Одночасно з розвитком символіки поглиблюється поняття про число. Практична необхідність здійснення громіздких розрахунків привела до створення десяткових дробів і логарифмів.

Уже в епоху Відродження почалося використання різних машин і механізмів на мануфактурах, у будівництві, гірничій справі тощо. Відтак з’явилися передумови для розвитку теоретичної механіки та вивчення механічного руху. Виникла необхідність у створенні відповідного математичного апарату. На початку XVII століття Р. Декарт ввів у науковий обіг поняття змінної величини. Відтоді основним об’єктом математики стало поняття функції. Зусиллями Ньютона, Лейбніца, їхніх учнів і послідовників для вивчення функціональної залежності було розроблено новий математичний апарат. Його застосування до розв’язування задач механіки, астрономії і інших наук визначило подальші шляхи розвитку математики.

Розвиток ринкових відносин у XVIII i XIX століттях супроводжувався перебудовою виробництва з застосуванням парових машин, інших технічних засобів. Розвиток математики у той час був тісно пов’язаний з технічною революцією, вимогами практики. Створення геометричних теорій, розвиток поняття про число, вивчення функцій стимулювалися необхідністю вирішення науково-технічних проблем, кораблебудівництва і мореплавства, балістики, гідротехніки, геодезії і картографії, астрономії.

Розвиток математики в ХІХ ст. визначався як її внутрішніми потребами, так і потребами практики. Яскраві результати були одержані і на тому, і на іншому шляху. Нерідко абстрактні математичні теорії знаходили застосування, з часом ставали прикладними. Так, наприклад, неевклідова геометрія, творцями якої були німець К. Ф. Гаус, угорець Я. Больяі та росіянин М. І. Лобачевський, постала на ґрунті намагань удосконалити „Начала” Евкліда. На початку ХХ ст. це відкриття стало невід’ємною частиною сучасних фізичних теорій.

В ХІХ столітті з’явились нові умови для розвитку математики: демократизація вищої освіти, створення умов для праці математиків — професіоналів, збільшення числа дослідників, створення потужних математичних шкіл в університетах, випуск великої кількості наукових журналів і т. д. Ці зміни значною мірою стимулювалися промисловою і технічною революцією.