151. 152.

153.;154..

155.;156.;

157.;158.;

159.;160..

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд.

Применим признак Даламбера.

Поскольку ;, то

.

Следовательно, данный ряд сходится по признаку Даламбера.

Пример 2.Исследовать на сходимость ряд.

Воспользуемся радикальным признаком Коши:

.

Следовательно, данный ряд сходится.

Пример 3.Исследовать на сходимость ряд.

Применим признак сравнения.

Будем сравнивать с гармоническим рядом . Этот ряд, как известно, расходится. Вычислим предел:

.

Так как предел отношения общих членов данных рядов равен константе (в данном случае единице), то ряды ведут себя одинаково в смысле сходимости. Таким образом, исходный ряд также расходится.

161 – 170.Найти интервал сходимости степенного ряда.

161..162. .

163..164..

165..166..

167..168..

169..170..

Пример.Найти область сходимости степенного ряда.

Нам дан степенной ряд , следовательно,;. Найдем радиус сходимости степенного ряда:.

(Замечание. Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда в некоторых случаях удобнее применить формулу:).

Данный степенной ряд сходится при .

На концах этого интервала ряд может сходиться или расходиться. Проведем исследование сходимости ряда на концах полученного интервала.

При имеем знакочередующийся числовой ряд. Применим признак Лейбница:

1) ,

2) .

Так как для этого ряда выполняются условия:

1) ,

2) ,

то данный ряд сходится.

При , получаем знакопостоянный числовой ряд. Применим интегральный признак Коши. Положим. Тогда несобственный интеграл

.

Несобственный интеграл расходится, а, следовательно, расходится и числовой ряд.

Окончательно, областью сходимости данного ряда является интервал .

171-180.Вычислить определенный интегралс точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

171.,.172. ,.

173.;.174.;.

175.;.176.;.

177.; .178.;.

179. ;.180. ;.

Пример. ;.

Воспользуемся формулой

заменив в ней на, получим ряд:

он сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду почленно интегрировать. Следовательно,

Заданная точность будет достигнута, если взять первые два члена разложения, поскольку уже третий член полученного ряда , по модулю меньше 0,001.

181 – 190.Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решениядифференциального уравнения,удовлетворяющего начальному условию _.

181., .182., .

183., .184., .

185., .185., .

187., .188., .

189., .190., .

Пример. , .

Решение данного дифференциального уравнения ищем в виде степенного ряда . По условию задачи .

Из данного дифференциального уравнения находим: .

Дифференцируем исходное уравнение дважды:

;

.

Тогда: , , подставляя найденные значения производных в ряд, получаем:.

Теория вероятностей и математическая статистика

Прежде, чем переходить к заданиям, приведем несколько формул, которые будут использоваться при решении задач первой десятки.

При решении задач теории вероятностей часто используют следующие понятия комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, а также правило умножения и правило сложения.

Пусть дано множество Nизnобъектов.

Определение 1. Всевозможные последовательности из всехnобъектов называютсяперестановками. Общее число различных перестановок изnобъектов вычисляют по формуле:

, где , при этом считают, что.

Определение 2.Сочетанияминазывают подмножества множестваN. Общее число сочетаний изnобъектов поmвычисляют по формуле:

.

Определение 3.Размещенияминазывают упорядоченные последовательности объектов множества N. Общее число размещений изnобъектов поmвычисляют по формуле:

.

Правило умножения. Если требуется выполнить одно за другимkдействий, которые можно выполнить соответственно,, …,способами, то всеkдействий вместе могут быть выполненыспособами.

Правило сложения. Если два взаимно исключающих друг друга действия могут выполняться соответственноилиспособами, то выполнить одно любое из этих действий можноспособами.

191 - 200. Задание (в него входит шесть задач).

1. Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для решаемого варианта.

2. Определить испытания и элементарные события.

3. Определить исследуемое событие Аи другие события.

4. Установить, какие формулы следует использовать для вычислений и выполнить последние.

Задание 1.1.Бросают две монеты. Найти вероятность того, что:

1) на обеих монетах появится «герб»;

2) хотя бы на одной монете появится «герб»;

3) ни на одной монете не появится «герб»;

Бросают три монеты. Найти вероятность того, что:

4) на всех монетах появится «герб»;

5) хотя бы на одной монете появится «герб»;

6) только на двух монетах появится «герб»;

7) только на одной монете появится «герб»;

8) ни на оной монете не появится «герб»;

Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что:

9) на всех монетах появится «герб»;

10) хотя бы на одной монете появится «герб».

Задание 1.2.Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Слова по вариантам:

1) ПРОГРАММА.

2) ПРОГРАММИСТ.

3) ПРОГРАММИРОВАНИЕ.

4) СТАТИСТИК.

5) СТАТИСТИКА.

6) СОБЫТИЕ.

7) СЛУЧАЙНОСТЬ.

8) ВЕРОЯТНОСТЬ.

9) АЛГОРИТМ.

10) БЛОК-СХЕМА.

Задание 1.3. Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является ваша фамилия и ваше имя.

Задание 1.4. В урне содержитсяК черных иНбелых шаров. Случайным образом вынимаютМшаров. Найти вероятность того, что среди них имеется: а)Рбелых шаров;

б) меньше, чем Р,белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

Значения параметров К,Н,МиРпо вариантам приведены в табл. 1.

Табл. 1.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
К	6	6	6	7	4	8	6	4	5	7
Н	6	5	5	4	5	6	7	7	6	4
М	5	4	5	4	4	5	4	4	5	4
Р	3	2	3	2	2	3	4	2	3	2

Задание 1.5.Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времениТбезотказно соответственно с вероятностьюр₁,р₂,р₃. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

а). только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Значения параметров вычислить по следующим формулам:

, ,,.

(Здесь V– номер Вашего варианта.)

Задание 1.6. В первой урнеКбелых иLчерных шаров, а во второй –Mбелых иNчерных. Из первой урны вынимают случайным образомРшаров, а из второй –Qшаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а). все шары одного цвета;

б). только три белых шара;

в). хотя бы один белый шар.

Значения параметров К,L,M,N, Р и Qприведены в таблице 2 по вариантам.

Табл.2.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
К	5	4	7	5	5	5	5	6	6	6
L	5	5	3	4	6	7	8	3	5	6
М	4	5	6	7	7	6	7	5	5	5
N	8	8	3	4	3	4	5	6	3	5
P	2	2	3	1	3	2	4	3	2	4
Q	2	3	1	4	2	2	1	3	2	1

Пример.

Задание 1.1.Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на 5.

Определим испытание и его результат, т.е. элементарное событие. Испытанием бросание трех игральных костей, результатом – одно из сочетаний очков на верхних гранях трех костей. Исследуемое событие А– сумма очков на трех верхних гранях делится на 5. Вероятность события А находится по формуле:.

Общее количество элементарных событий nможно найти по правилу умножения. На каждой игральной кости 6 граней, и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей. Итак, получаем:

.

Количество элементарных событий m, входящих в состав события А, или благоприятствующих событию А, найдем, выписав все возможные результаты испытаний, и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на 5. Имеем:

113	163	253	343	433	523	613	663
122	212	262	352	442	532	622
131	221	311	361	451	541	631
136	226	316	366	456	546	636
145	235	325	415	465	555	645
154	244	334	424	514	564	654

В результате получим, что m=43.Следовательно, искомая вероятность:

Задание 1.2.Слово «МАТЕМАТИКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана только одна буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность случая, что буквы появятся в порядке заданного слова.

Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие Асостоит в получении нужного слова «МАТЕМАТИКА». Так как элементарные события являются перестановками из 10 букв, тоНекоторые буквы в слове «МАТЕМАТИКА» повторяются (М – 2 раза, А – 3 раза, Т – 2 раза). Поэтому возможны перестановки, при которых слово не меняется. Их число равно:=24.

Таким образом, .

Задание 1.3.(решается аналогично задаче 1.2).

Задание 1.4.В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 2 белых шара;

б) меньше, чем 2 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Испытанием будет случайное вынимание 4 шаров. Элементарными событиями являются всевозможные сочетания по 4 из 11 шаров. Их число равно:

.

а) - среди вынутых шаров 2 белых. Значит, среди вынутых шаров – 2 белых и 2 черных (т.к. вынимают 4). Используя правило умножения, получаем:

,

б) - среди вынутых шаров меньше, чем 2 белых. Это событие состоит из двух несовместных событий:

В₁– среди вынутых шаров 1 белый и 3 черных шара;

В₂ - все вынутые шары – черные.

Следовательно, .

, .

; ;.

в) - среди вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров:

В₁– среди вынутых шаров 1 белый и 3 черных шара;

В₂ - среди вынутых шаров 2 белый и 2 черных шара;

В₃ - среди вынутых шаров 3 белых и 1 черный шар;

В₄ - среди вынутых шаров 4 белых шара.

Прямое решение этой задачи приводит обычно к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события, а затем вычислить вероятность искомого.

- среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае

;

Тогда

Ответ: ;;

Задание 1.5.Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями 0,851, 0,751, 0,701. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:

а) только один элемент;

б) хотя бы один элемент.

Испытание, т.е. работу за время Т, нужно рассмотреть на двух уровнях: на уровне устройства и на уровне элементов. Элементарные события определять не надо, так как их вероятности заданы.

а) - за время Т выходит из строя только один элемент:

- первый элемент выходит из строя;

- второй элемент выходит из строя;

- третий элемент выходит из строя;

- первый элемент не выходит из строя;

- второй элемент не выходит из строя;

- третий элемент не выходит из строя.

Учитывая независимость элементов устройств, несовместность событий и, получаем следующую формулу:

.

По условию,

= 0,851, ,0,701.

Тогда

,,

.

Следовательно, получаем:

=0,418.

б) - за время Т выходит из строя хотя бы один элемент.

Так как событие определяется словами «хотя бы один», используем противоположное событие:

- за время Т все элементы работают безотказно.

.

Ответ: ,.

Задание 1.6.В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли 3 шара наугад, а из второй – 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только 3 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями являются извлечение трех шаров из первой урны и двух шаров из второй. Элементарными событиями будут сочетания по 3 или 2 из 10 или 12 шаров соответственно.

а) - все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые, или все черные. Определим для каждой урны все возможные события:

- из первой урны вынуты 3 белых шара;

- из первой урны вынуты 2 белых шара и 1 черный шар;

- из первой урны вынуты 1 белый шар и 2 черных шара;

- из первой урны вынуты 3 черных шара;

- из второй урны вынуты 2 белых шара;

- из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

- из второй урны вынуты 2 черных шара.

Таким образом,

.

Найдем количество элементарных событий идля первой и второй урн соответственно. Имеем:

, .

Найдем количество каждого из элементарных событий, определяющих следующие события:

: ,:,

: ,:,

: ,:,

: .

Следовательно,

.

б) - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае:

.

в) - среди извлеченных шаров имеется по крайней мере один белый.

- среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара.

Тогда: ,.

Ответ: ,,.

201. В банк поступило 6 заявлений от физических лиц на получение кредита. Вероятность получить первый кредит для каждого одинакова. Найти вероятности следующих событий:

а) будет выдано ровно 3 кредита;

б) будет выдано не менее двух кредитов.

202.Доля крупных заказов в строительной фирме составляет 40%. Фирма в месяц заключает в среднем 7 заказов.

Найти вероятности следующих событий:

а) фирме будет сделано 2 крупных заказа;

б) будет сделано не менее четырех крупных заказов.

203. В банк поступило 10 стодолларовых купюр. Какова вероятность того, что среди них окажется

а) 5 фальшивых купюр,

б) менее 5 фальшивых купюр, если известно, что на рынке 0,1% купюр фальшивых?

204.Коммерческий банк имеет 6 отделений, каждое из которых заказывает независимо друг от друга крупную сумму денег на следующий рабочий день с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что заявок на крупную сумму будет:

а) две;

б) не менее четырех.

205. Вероятность обращения клиента в банк за возвращением депозита 0,4. Найти вероятность того, что из 7 вип-клиентов банка за возвращением депозита обратится:

а) один клиент;

б) все клиенты.

206. Провайдер обслуживает 10 абонентов сети INTERNET. Вероятность того, что любой абонент захочет войти в сеть в течение часа, равна 0.002. Найти вероятность того, что в течение часа

а) более 7 абонентов попытаются войти в сеть,

б) не менее 7 абонентов попытаются войти в сеть.

207. В банк поступило 8 заявлений от юридических лиц на получение кредита. Вероятность получить кредит для каждого одинакова и равна 0,55. Найти вероятности следующих событий:

а) будет выдано ровно 2 кредита;

б) будет выдано не менее пяти кредитов.

208. Доля крупных заказов в строительной фирме составляет 72%. Фирма в месяц заключает в среднем 4 заказа. Найти вероятности следующих событий:

а) фирме будет сделано 2 крупных заказа;

б) будет сделано не менее двух крупных заказов.

209. Вероятность того, что кредит не вернут в банк, составляет 0,1. Найти вероятность того, что из 8 клиентов, получивших кредит, его не вернут:

а) один клиент;

б) все клиенты.

210. Фирма – импортер поставляет продукцию на 7 крупных предприятий города. Вероятность того, что этими предприятиями будет сделан заказ в отчетного периода, составляет 12%. Найти вероятность того, что в течение отчетного периода заказ будет сделан

а) более чем 6 предприятиями,

б) не будет сделан вообще.

Пример. Вероятность обращения владельцев транспортных средств в страховую компанию за возмещением составляет 0,8. Найти вероятность того, что из10 автовладельцев 9 обратятся в страховую компанию.

Решение.

Используем формулу Бернулли, которая принадлежит к схеме независимых повторных испытаний.

Проводится nнезависимых друг от друга испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одной и той же вероятностью. Обозначим- вероятность того, что вnиспытаниях событиеАпоявится ровноkраз. Иногда говорят, что- вероятность того, что вnиспытаниях былоуспехов. Тогда

.

Количество испытаний в данной задаче n= 10. Вероятность того, что будет предъявлен иск в страховую компанию;

Найдем вероятность, что будет предъявлено 9 исков из 10, т.е. число успехов равно 9.

211.Курс доллара повышается в течение квартала с вероятностью 0,8 и понижается с вероятностью 0,2. При повышении курса доллара фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85; при понижении — с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что

а) фирма получит прибыль;

б) фирма получит прибыль, при этом известно, что курс доллара понизится.

212. В страховой компании 500 начинающих и 2000 опытных водителей. В среднем 10 % начинающих и 2 % опытных водителей в течение года попадают в аварию. Найти вероятность того, что

а) водитель попал в аварию;

б) это был опытный водитель.

213.Вероятность того, что клиент банка не вернет кредит в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса – 0,13. Вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что

а) случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит;

б) случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит в период экономического роста.

214.Курортная гостиница будет заполнена в июле с вероятностью 0.92, если будет солнечная погода, или с вероятностью 0.72, если будет дождливая погода. По оценкам синоптиков в данной местности в июле бывает 75% солнечных дней. Какова вероятность того, что

а) работа гостиницы будет рентабельной;

б) работа гостиницы будет рентабельной, если погода будет дождливой.

215.Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный товар, равна 0,67, а при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит на рынок аналогичный товар в течение интересующего нас периода, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что

а) новый товар будет иметь успех;

б) новый товар будет иметь успех при наличии на рынке конкурирующего товара

216.Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятности для данного момента времени в 0,15; 0,70 и 0,15 соответственно. Некоторый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0,60, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0,30, когда ситуация посредственная, и с вероятностью 0,10, когда ситуация «плохая». Чему равна вероятность того, что

а) экономика страны на подъеме;

б) экономика страны на подъеме при росте индекса экономического состояния.

217. Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки. Первая организация представила 15 счетов, вторая — 10, третья — 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,85. Был выбран один счет и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации.

218.Инвестор приобрел акции трех компаний, причем его инвестиционный пакет состоит из 20 акций первой компании, 42 акций второй и 18 акций третьей. Вероятность того, что акции первой компании принесут прибыль, равна 0,5, второй -0,3, третьей- 0,7. Найти вероятность того, что

а) инвестор получит прибыль;

б) инвестор получит прибыль, если прогнозирует рост цен акций первой компании.

219. Курс гривны понижается в течение недели с вероятностью 0,6 и повышается с вероятностью 0,4. При повышении курса гривны фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,45; при понижении — с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что

а) фирма получит прибыль;

б) фирма получит прибыль, при этом известно, что курс гривны понизится.

220. Количество акций, представленных тремя различными предприятиями на финансовый рынок, относятся как 5:3:2. Вероятности того, что акции будут котироваться по 12 долл. за штуку для этих предприятий соответственно равны 0,3; 0,4; 0,7. Известно, что цена случайно выбранной акции составила 12 долл. Найти вероятность того, что эта акция представлена третьим предприятием.

Пример. Фирма – экспортер промышленной продукции собирается заключить контракт с крупным концерном на его поставку. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность подписания контракта оценивается аналитиками фирмы в 0,55, в противном случае – в 0,35. По оценкам аналитиков вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0,4. Чему равна вероятность заключения контракта для фирмы – экспортера. И какова будет эта вероятность, если фирма – конкурент все таки выдвинет свои предложения.

Решение.

Пусть А – событие «фирма – экспортер заключит контракт»; H₁ – гипотеза «фирма-конкурент выдвинет свои предложения»,H₂ – гипотеза «фирма-конкурент не выдвинет свои предложения». По условию,

условные вероятности по заключению контракта для фирмы-экспортера По формуле полной вероятности вероятность заключения контракта для фирмы – экспортера будет равна:

А вероятность того, что контракт будет заключен, если фирма – конкурент все таки выдвинет свои предложения найдем по формуле Байеса: