81. 86.

82. 87.

83. 88.

84. 89.

85. 90.

Пример. Найти объём производства, при котором фирма, действующая на рынке совершенной конкуренции, будет получать максимальную прибыль, если

Прибыль фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, максимизируется при равенстве предельной выручки и предельных издержек: . Поскольку при совершенной конкуренции наблюдается равенство цены и предельной выручки:, то можно утверждать, что фирма максимизирует прибыль при.Найдем предельные издержки:,. Таким образом, при ценефирма предложит 2 единицы продукции.

Исследование функций и построение графиков

91-100. Исследовать методами дифференциального исчисления функциюи, используя результаты исследования, построить ее график.

91. . 96..

92.  . 97..

93.  . 98..

94.  . 99..

95.  . 100..

Пример. .

1. Область определения: .

2. , , -следовательно, функция не является четной, нечетной, периодической.

3. Исследуем характер точки разрыва и поведение функции вблизи этой точки:

,

.

Таким образом, в точке функция терпит разрыв второго рода, а прямаяявляется вертикальной асимптотой.

4. Определим уравнение наклонной асимптоты:

, где

,

.

Итак,

- наклонная асимптота.

5. Определим критические точки.

,

при или, то есть приили, - других критических точек в области определения функции нет. Значения функции в критических точках:

, .

6. Найдем вторую производную:

.

, следовательно, точек перегиба нет.

7. Внесем все полученные данные в таблицу, определим поведение функции на различных участках и построим график.

x		1		3		5
	+	0	-		-	0	+
	-	-	-		+	+	+
y		2 max				10 min

Положительные значения первойпроизводной соответствуют промежуткам возрастания, отрицательные – промежуткам убывания. Положительные значениявторойпроизводной соответствуют промежуткам вогнутости функции, отрицательные – промежуткам выпуклости. Точка, в которой возрастание функции сменяется убыванием, является точкой максимума, а точка, в которой убывание функции сменяется возрастанием – точкой минимума.

Неопределённый и определённый интегралы

101-110.Найти неопределённые интегралы.

101.а). ; б).; в)..

102. а). ; б); в)..

103. а). ; б); в)..

104. а). ; б); в)..

105. а). ; б); в)..

106. а) ; б); в).

107. а) ; б); в).

108. а) ; б); в).

109. а) ; б); в).

110. а) ; б); в).

Пример. Найти неопределённые интегралы.

а) ; б); в).

а) Данный интеграл не является табличным. Поэтому предварительно сделаем элементарные математические преобразования, в данном случае воспользовавшись формулой сокращенного умножения, а потом таблицей интегралов основных элементарных функций, получим:

б) пусть требуется найти интеграл вида , где подынтегральная функция непрерывна. Сделаем замену, тогда. Получим. В найденном интеграле перейдем к прежней переменной, воспользовавшись равенством.

.

в) . Имеем интеграл вида . Применим формулу интегрирования по частям :

.

111-120. Вычислить определенные интегралы

111. а) ; б) в).

112. а) ; б); в).

113. а) ; б)в).

114. а) ; б)в).

115. а) ; б)в).

116. а) ; б)в).

117. а) ; б); в).

118. а) ; б)в).

119. а) ; б)в).

120. а) ; б)в).

Пример.

а) . Применяя формулу Ньютона-Лейбница, вычислим этот интеграл:

б) . Вычислим этот интеграл, используя метод замены переменной:

в) . Применяя формулу интегрирования по частям получим:

121.-130.Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертеж.