Производная

51-60.Найти производныеданных функций.

51. а); б); в).

52. а); б); в).

53. а); б); в).

54. а); б); в).

55. а); б); в).

56. а); б); в).

57. а); б); в).

58. а); б); в).

59. а); б); в).

60. а); б); в).

Пример.

а) .

.

б) .

Воспользуемся формулами для производной суммы двух функций и их произведения:

.

Будем иметь:

.

в) .

Применим правило дифференцирования частного двух функций:

.

Будем иметь:

.

Приложения производной

61-70. Задана функция.

а) исследуйте функцию на возрастание и убывание;

б) найдите экстремумы функций.

61. . 66. .

62. . 67. .

63. . 68. .

64. . 69. .

65. . 70.

Пример. .

Представим сначала схему исследования функции на монотонность и экстремумы.

1) найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна.

2) найти производную

3) найти критические точки, то есть внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует

4) обозначить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом из интервалов, на которые критические точки разбивают область определения.

5) определить относительно каждой критической точки является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума.

6) записать результат исследования функции: промежутки монотонности и экстремумы.

Итак,

1)

2) ,,

3)Наносим критические точки на координатную прямую. Производная везде в окрестности точки будет иметь знак «+», значит функция возрастает на всей числовой прямой, за исключением точкиТаким образом,, экстремумов нет.

Приложение производной в экономике

71-80.Найти оптимальный объём производства фирмы, функция чистой прибыли которой задана,- прибыль фирмы,- издержки фирмы.

71. 76.

72. 77.

73. 78.

74. 79.

75. 80.

Пример. Найти оптимальный объём производства фирмы, функция чистой прибыли которой задана,- прибыль фирмы,- издержки фирмы.

Найдем производную данной функции: Приравняем производную к нулю и найдём точку экстремума:. Является ли объём выпуска, равный четырём единицам продукции, оптимальным для фирмы? Чтобы ответить на этот вопрос, надо проанализировать характер изменения знака производной при переходе через точку экстремума.

При ,и прибыль убывает.

При ,и прибыль возрастает. Как видим, при переходе через точку экстремума производная меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в точке экстремума прибыль принимает минимальное значение, и таким образом, этот объём производства не является оптимальным для фирмы. Каким же всё-таки будет оптимальный объём выпуска для данной фирмы? Ответ на этот вопрос зависит от дополнительного исследования производственных возможностей фирмы. Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (), то оптимальным решением для фирмы будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и/или оборудования. Если же фирма способна производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции, то оптимальным решением для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных возможностей.

81-90. Найти объём производства, при котором фирма, действующая на рынке совершенной конкуренции, будет получать максимальную прибыль, если цена продукта составит, а издержки на его производство заданы функцией