Метода_ТУ
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И
ТЕОРИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Теория управления
Методические материалы для лабораторных занятий и СРС
Донецк
2013
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И
ТЕОРИИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Теория управления
Методические материалы для лабораторных занятий и СРС
Утверждено на заседании ученого совета факультета математики и информационных технологий.
Протокол № 126 от 21.03.2013 г.
Донецк
ДонНУ
2013
УДК 681.5 В 144
Авторы: Н. В. Вайсруб, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики и теории систем управления факультета математики и информационных технологий, А. Н. Голуб, ассистент кафедры прикладной математики и теории
систем управления факультета математики и информационных технологий, М. И. Зейдина, старший преподаватель кафедры прикладной
математики и теории систем управления факультета математики и информационных технологий
Рецензент: Д. В. Шевцов, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики и теории систем управления факультета математики и информационных технологий
Ответственный за выпуск: А-В. В. Мельник, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики и теории систем управления факультета математики и информационных технологий
Теория управления: методические материалы для лабораторных занятий и СРС / Н. В. Вайсруб, А. Н. Голуб, М. И. Зейдина. – Донецк: ДонНУ, 2013. – 79 с.
Методические материалы содержат краткие теоретические положения теории управления, рекомендации к решению практических задач, примеры решения задач, а также контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения.
Для студентов специальностей «Прикладная математика» и «Информатика», математиков-аналитиков и разработчиков информационных систем управления.
УДК 681.5
В 144 © Вайсруб Н. В., 2013
© Голуб А. Н., 2013 © Зейдина М. И., 2013 © ДонНУ, 2013
|
Содержание |
|
Введение............................................................................................................... |
4 |
|
Тема 1 Преобразование Лапласа и его свойства. |
|
|
Основы операционного исчисления.................................................................. |
5 |
|
Тема 2 Обратное преобразование Лапласа..................................................... |
10 |
|
Тема 3 Применение преобразования Лапласа для решения |
|
|
обыкновенных дифференциальных уравнений ............................................. |
14 |
|
Тема 4 Импеданс динамической системы ...................................................... |
20 |
|
Тема 5 Передаточная функция динамической системы................................ |
27 |
|
Тема 6 |
Переходная и весовая функции динамической |
|
системы............................................................................................................... |
34 |
|
Тема 7 |
Частотные характеристики динамической системы......................... |
39 |
Тема 8 |
Типовые звенья динамических систем............................................... |
44 |
Тема 9 |
Логарифмическая амплитудная частотная |
|
характеристика .................................................................................................. |
48 |
|
Тема 10 Асимптотическая устойчивость динамической |
|
|
системы............................................................................................................... |
59 |
|
Список рекомендованной литературы............................................................ |
75 |
|
Приложение А. Таблица оригиналов и их изображений.............................. |
76 |
|
Введение
Теория управления изучает общие принципы построения автоматических систем и методы их исследования независимо от физической природы процессов, происходящих в них. Теория управления является теоретической базой автоматических систем в различных областях техники, дает основную теоретическую базу для исследования и проектирования автоматических и автоматизированных систем, изучает процессы управления и задачи создания любых систем с обратной связью.
Методические материалы для лабораторных занятий и СРС по теории управления содержат краткие теоретические сведения, излагаемые студентам факультета математики и информационных технологий специальностей «Прикладная математика» и «Информатика» в рамках общего курса «Теория управления», а также рекомендации к решению практических задач, примеры решения задач, контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения. Материал пособия охватывает элементы операционного исчисления, описание линейных динамических систем в виде модели «вход–выход», исследование динамических и частотных характеристик, анализ типовых звеньев, составляющих систему,
а также проблему асимптотической устойчивости систем.
Методические материалы предназначены для использования при проведении лабораторных занятий по курсу «Теория управления», а также для самостоятельной работы студентов.
4
Тема 1 Преобразование Лапласа
Тема 1 Преобразование Лапласа и его свойства.
Основы операционного исчисления
Пусть функция f (t) , t R удовлетворяет следующим условиям: 1) f (t) – кусочно-непрерывная функция на интервале [0, + ∞) ; 2) t < 0 f (t) = 0 ;
|
|
3) такие константы |
A, S , |
A> 0: t ≥ 0 выполняется неравенство |
f (t) |
|
< AeS t , то есть функция |
f (t) |
возрастает не быстрее экспоненциальной |
|
функции.
Определение. Преобразованием Лапласа функции f (t) , удовлетворяющей условиям 1) – 3), называется функция комплексной переменной p , определяемая равенством:
∞
L[ f (t)] = F ( p) = ∫ f (t)e − p t dt .
0
Определение. Обратное преобразование Лапласа для изображения F (p) –
это функция f (t ) такая, что L[ f (t )]= F (p).
При этом функция f (t) называется оригиналом, а функция F (p) называется изображением Лапласа.
Найдем преобразования Лапласа для некоторых простейших функций.
Пример 1.1. Найти преобразование Лапласа функции f (t) = 0 .
Решение. Функция f (t) = 0 удовлетворяет всем трем приведенным выше условиям. Тогда ее преобразование Лапласа равно:
∞
L[ f (t)] = L [0] = ∫0 e − pt dx = 0 .
0
Ответ: L [0] = 0 .
Пример 1.2. Найти преобразование Лапласа функции f (t) = 1 .
Решение. Функция |
f (t) = 1 не удовлетворяет условию 2. Введем новую |
|
функцию |
1, t ≥ 0 |
и найдем ее преобразование Лапласа. Такую операцию |
I (t) = |
||
|
0, t < 0 |
|
в дальнейшем будем проделывать со всеми функциями, которые удовлетворяют условиям 1 и 3, но не удовлетворяют 2, и для краткости соответствующие обозначения будем опускать.
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 1 Преобразование Лапласа |
|||||||
|
∞ |
1 |
|
∞ |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
L[I (t)] = ∫ |
1 e − pt dt = − |
e − pt |
| |
= − |
(0 − 1) = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
p |
0 |
|
p |
|
p |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: |
L [I (t )] = |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 1.3. Найти преобразование Лапласа функции |
f ( x) = eα t . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
∞ |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. |
L[ f (t )]= ∫eα t e − p t dt = ∫e −( p−α ) t dt = − |
e |
−( p−α ) t |
|
= |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
p − α |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
p − α |
|
|
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: |
L [eα t ]= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Преобразования Лапласа многих элементарных функций приведены в таблицах соответствий оригиналов и их изображений (см. Приложение А) [1]. Для нахождения преобразования Лапласа от функций, не представленных в таблице, целесообразно воспользоваться свойствами преобразования Лапласа, позволяющими находить изображение заданной функции без непосредственного интегрирования.
Свойства преобразования Лапласа
Пусть функции f (t ) и g (t ) удовлетворяют условиям 1) – 3), и определены
следующие преобразования Лапласа: L[ f (t)] |
= F ( p) и L[g(t)] = G( p) . |
||||||||||
1. |
Линейность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для любых постоянных a и b справедливо равенство: |
|||||||||||
|
L[a f (t ) + b g(t)] = aF ( p) + bG( p) . |
||||||||||
2. |
Подобие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для любой постоянной a > 0 справедливы равенства: |
|||||||||||
|
L[ f (at)] = |
1 |
p |
1 |
t |
||||||
|
|
F |
|
|
, L |
|
|
f |
|
= F (ap). |
|
|
a |
|
|
|
|||||||
|
|
a |
a |
a |
|||||||
3. |
Теорема запаздывания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть t < a (a > 0) f (t − a) = 0 , тогда: |
|
|
|
||||||||
L[ f (t − a)] = e −ap F ( p) .
4. Теорема смещения
Для любой постоянной a справедливо равенство:
L[e −at f (t)]= F (p + a ).
5. Теорема упреждения
Для любой постоянной a > 0 верно равенство:
|
a |
L [ f (t + a)] = eap F ( p) − ∫e− pt |
|
|
0 |
f (t ) dt .
6
Тема 1 Преобразование Лапласа
6. Дифференцирование оригинала
n
L [f (n) (t)]= p n F ( p) − ∑ p n−k f (k −1) (0) .
k =1
7. Дифференцирование изображения
L [(−1) n t n f (t)]= F (n) ( p) .
8. Интегрирование оригинала
t |
|
F ( p) |
|
L ∫ |
f (τ ) dτ = |
|
. |
|
|||
0 |
|
p |
|
9. Интегрирование изображения
f (t) |
∞ |
||
L |
|
|
= ∫ F (q)dq . |
|
|||
|
t |
|
p |
|
|
|
|
Рассмотрим примеры использования перечисленных свойств преобразования Лапласа для нахождения изображений.
Пример 1.4. Найти преобразование Лапласа функции |
f (t ) = 2 + 4 e5t . |
|||||||
Решение. Воспользуемся тем, что L [1] = |
1 |
и L [e5t ]= |
1 |
. Тогда в силу |
||||
|
p − 5 |
|||||||
|
|
|
|
|
p |
|
||
линейности преобразования Лапласа, получаем: |
|
|
||||||
L [2 + 4e5t ]= 2 L [1]+ 4 L[e5t ] = |
2 |
+ |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
pp − 5
Внекоторых случаях эффективным является применение формул Эйлера, как это показано далее в примере 1.5:
sin β t = |
eiβ t − e |
−iβ t |
eiβ t + e |
−iβ t |
||
|
|
; cos β t = |
|
|
. |
|
2i |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Пример 1.5. Найти преобразование Лапласа функции f (t ) = sin β t . Решение. Воспользуемся формулами Эйлера, а затем свойством
линейности преобразования Лапласа.
L [sin β t ] = L |
eiβ t |
− e−iβ t |
|
|
1 |
(L [eiβ t ]− L[e−iβ t ])= |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
− |
|
|
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
2i |
|
|
2i p − iβ |
|
p + iβ |
|
|||||
= |
1 |
|
p + iβ − p + iβ |
) = |
|
|
|
β |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2i ( p − iβ )( p + iβ ) |
p |
2 + β 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ответ: L [sin β t ] = |
|
β |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
p 2 + β 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7
Тема 1 Преобразование Лапласа
Пример 1.6. Найти преобразование Лапласа функции |
|
f (t ) = cos β t . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Преобразование Лапласа получим аналогично примеру 1.5. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eiβ t + e |
−iβ t |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
L[cos β t] = L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
p 2 + β 2 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 p − iβ p + iβ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответ: L [cos β t ] = |
|
|
|
|
p |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
p 2 + β 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Пример 1.7. Найти преобразование Лапласа функции |
|
f (t ) = e −α t sin β t . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. |
Воспользуемся теоремой смещения |
(свойство 4) и тем, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L [sin β t ] = |
|
|
|
β |
|
|
|
. Получаем: L [e−α t sin β t ]= |
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 + β 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p + α )2 + β 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Пример 1.8. Найти преобразование Лапласа функции f (x) = eγ t |
cos β t . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Аналогично примеру 1.7, получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L [eγ t |
cos β t ]= |
|
|
p − γ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( p − γ )2 + β 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Пример 1.9. Дано изображение Лапласа F ( p) = |
|
5 |
|
. |
Найти оригинал. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
p − 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. |
В силу линейности обратного преобразования Лапласа и того |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
факта, что L[eα t ]= |
|
1 |
|
|
|
, |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
p − α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
L−1 |
|
|
|
|
|
|
|
= 5L−1 |
|
|
|
|
|
= 5 e 4t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
p − |
4 |
|
|
|
|
p − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 1.10. |
Дано |
|
изображение |
|
Лапласа |
|
F ( p) = |
|
|
2 |
|
. Найти |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 p |
2 + 20 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
оригинал. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Воспользуемся тем, что L[sin β t ] |
= |
|
|
|
β |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p 2 + β 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
L−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= L−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
L−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
sin 2t . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
5 p |
2 |
+ 20 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ 4 |
) |
|
|
5 |
|
p |
2 |
+ |
2 |
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Задачи для самостоятельного решения к теме 1
Задача 1.1. Найти преобразование Лапласа следующих функций:
8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тема 1 Преобразование Лапласа |
||||||||||
а) |
f (t) = e− 4t |
+ |
|
1 |
et ; |
|
|
|
б) |
f (t) = sin 3t − 4e12t ; |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
f (t) = sin |
|
|
|
t + |
1 |
cos 2t ; |
|
|
|
г) |
f (t) = 12e−t − 3e2t + 4 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1.2. Дано изображение Лапласа F ( p) . Найти оригинал f (t) : |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
а) F ( p) = |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
б) F ( p) = |
12 |
; |
|
в) F ( p) = |
|
|
3 |
|
; г) F ( p) = |
p |
|
; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p + 5 |
|
|
|
|
2 p + 1 |
p 2 + 1 |
|||||||||
д) F ( p) = |
|
|
2 |
|
|
; |
е) F ( p) = |
4 p |
|
; |
ж) F ( p) = |
|
7 |
|
; з) F ( p) = |
3 |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 p 2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
p |
2 |
+1 |
|
|
|
p 2 + 4 |
|
|
|
p |
2 |
+ 5 |
|
+ 8 |
|
||||||||||
Контрольные вопросы к теме 1
Основной уровень
1.Дайте определение преобразования Лапласа.
2.Какими свойствами должна обладать функция f (t ), чтобы возможно
было определить ее преобразование Лапласа L [ f (t )]?
3.Сформулируйте следующие свойства преобразования Лапласа: линейность, подобие, теорема запаздывания, теорема упреждения, теорема смещения.
4.Дайте определение обратного преобразования Лапласа.
Углубленный уровень
1.Что называют изображением по Лапласу и оригиналом?
2.Сформулируйте следующие свойства преобразования Лапласа: дифференцирование изображения, дифференцирование оригинала, интегрирование изображения, интегрирования оригинала.
9