Метода_ТУ

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теорема Хэвисайда. Пусть изображение Лапласа функции

f (t ) имеет вид

F (p ) = L [ f (t )] =

, где функции R(p)

– полиномы:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

718 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Тема 2 Обратное преобразование Лапласа

Для нахождения обратного преобразования Лапласа от функций, которые являются дробно-рациональными, целесообразно использовать следующую теорему.

R(p ) = a

p m + a p m−1 + ... + a

Q(p) = p n + b p n−1

+ ... + b

, причем

Известны

корни

полинома

Q(p):

λ1 , λ2 ,..., λr , причем

µ1 , µ2 ,..., µr

кратности,

∑µk

= n . Тогда оригинал

f (t ) можно найти по формуле

k =1

µk

µk − j

f (t) = ∑ ∑

A jk t

e λk t ,

k =1 j =1 (µ k − j)!

m< n .

–их

(2.1)

где Ajk – это числовые коэффициенты, которые определяются формулой:

Ajk	=	1	lim		d j −1
		( j − 1)!			dp	j −1
			p →λ	k

	(p − λ )µk
	(p − λ )µk
	k

R(p )
R(p )
	,	j = 1, µ k , k = 1, r .
	,	j = 1, µ k , k = 1, r .
Q(p)

Если кратности			всех корней		λ1 , λ2 ,..., λr равны единице (r = n), то
оригинал можно найти по формуле:
					n
				f (t) = ∑ Ak e λk t ,		(2.2)
					k =1
где Ak =	R(λk )
	R(λk )	,	k = 1, n .
	Q′(λk )	,	k = 1, n .
	Q′(λk )
Пример	2.1. Найти обратное				преобразование	Лапласа (оригинал) от
изображения F (p) =			p −1
				.
				.
			p 2 + 3 p + 2
Решение. Приведенное изображение удовлетворяет всем условиям
теоремы Хэвисайда:			R (p) = p −1,		Q(p ) = p 2 + 3 p + 2	– полиномы, степень
числителя меньше степени знаменателя.
Тогда Q′(p) = 2 p + 3 , корни многочлена Q( p) :						λ1 = −1, λ2 = −2 . Корни

Q(p) простые, поэтому воспользуется формулой (2.2). Оригинал будет иметь

вид: f (t ) = ∑ Ak eλk t .

k =1

Тема 2 Обратное преобразование Лапласа

Найдем коэффициенты A1 и A2 .

R(λ1 )

R(−1)

− 1 −1

= −2 ,

Q′(λ1 )

Q′(− 1)

− 2 + 3

R(λ2 )

R(− 2)

− 2 − 1

= 3 .

Q′(λ2 )

Q′(− 2)

− 4 + 3

Следовательно, искомый оригинал равен: f (t ) = −2e −t + 3e −2t . Ответ: f (t ) = −2e −t + 3e −2t .

Пример 2.2. Найти оригиналы для следующих изображений:


а) F ( p) =	3 p + 16				б) F ( p) =	− 8 p + 10
			;						;
	p 2					p 2
		+ p − 20					− 13 p + 42
в) F ( p) =		3 p − 5			г) F ( p) =	13 p + 4
				;				.
						p 2
	2 p 2 + 8 p + 6						− 3 p + 1

Решение аналогично примеру 2.1. Предлагаем самостоятельно выполнить нахождение оригиналов и сверить полученные ответы.

Ответ: а) f (t ) = −

e −5t

e 4t ; б)

f (t ) = 38 e6t − 46 e7t ;

3− 5

3+ 5

в) f (t ) = −2e

−t

−3t

г) f (t ) =

65 − 47 5

65 + 47 5

;

Пример 2.3. Найти оригинал для изображения F ( p) =

p 2 + p + 1

p5 − p

Решение.

обозначениях

теоремы

Хэвисайда

R( p) = p 2 + p + 1,

Q( p) = p 5 − p ,

Q′( p) = 5 p 4 − 1. Корни многочлена

Q( p) : λ = 0 , λ

= 1,

λ = −1,

λ4 = i ,

λ5 = −i .

Все условия теоремы выполнены, корни простые. Вычислим

значения коэффициентов A1 , …, A5 .

R(λ1 )

R(0)

= −1;

Q′(λ1 )

Q′(0)

− 1

R(λ2 )

R(1)

;

R(λ3 )

R(− 1)

;

Q′(λ2 )

Q′(1)

Q′(λ3 )

Q′(− 1)

R(λ4 )

R(i)

;

R(λ5 )

R(− i)

− i

Q′(λ4 )

Q′(i)

Q′(λ5 )

Q′(− i)

Тогда оригинал будет иметь вид:

f (t ) = −1 +

e−t

ei t

−

e−i t .

Тема 2 Обратное преобразование Лапласа

Преобразуем

полученную

функцию

помощью

формулы

Эйлера:

sin t =

eit − e−it

f (t ) = −1 +

e−t

ei t − e −i t

= −1 +

e−t

−

sin t .

Ответ:

f (t ) = −1 +

e−t

−

sin t .

Пример 2.4. Найти оригинал для изображения

F ( p) =

p 2

( p 2 − 1)3

Решение. В обозначениях теоремы Хэвисайда R( p) = p 2 ,

Q( p) = ( p 2 − 1) 3 ,

корни многочлена

Q( p) :

λ 1,2,3= 1,

λ 4,5,6

= −1;

корни

кратные,

поэтому

оригинал

f (t ) будем искать по формуле (2.1) в виде:

t 3− j

f (t ) = ∑ ∑

eλk t ,

k =1 j =1

(3 − j)!

d j−1

) µk

R( p)

где

lim

( p − λ

j = 1, 3 ,

k = 1, 2 .

j−1

( j − 1)! p→λ

Q( p)

Найдем коэффициенты A jk :

p 2

A =

lim

( p − 1)3

lim

( p

−1)

0! p→1

p→1

( p + 1)

p 2

2 p

3 p 2

A =

lim

−

+ 1)

lim

( p + 1)

4 16 16

1! p→ 1 dp

( p

p→ 1 ( p + 1)

d 2

p 2

12 p

12 p 2

−

lim

( p + 1)

p→1 dp

( p + 1)

p→ 1

( p +

−

= −

A =

lim

( p + 1)3

lim

= −

( p

− 1)

( p −1)

0! p→ −1

p→ −1

p 2

2 p

3 p 2

A =

−

lim

( p − 1)

4 16 16

1! p→ −1 dp

( p −1)

p→ −1

p 2

12 p

12 p 2

lim

−

( p −

( p − 1)

2! p→ −1 dp

( p − 1)

2 p→ −1

( p

Тема 2 Обратное преобразование Лапласа

	1		1		3		3		1
=		−		+		−		=		.
=		−		+		−		=		.
	2		4		4		8		16

Тогда оригинал f (t ) будет иметь вид:

f (t ) = 1 t 2 et + 1 t1 et − 1 t 0 et − 1 t 2 e −t + 1 t1 e −t + 1 t 0 e−t =

8 2!

16 1!

16 0!

8 2!

16 1!

16 0!

t 2 et +

tet −

et −

t 2 e −t +

te−t +

e −t .

Ответ:

f (t ) =

(t 2 e t + tet − et

− t 2 e −t

+ te −t + e −t

Задачи для самостоятельного решения к теме 2

Задача 2.1. Найти обратное преобразование Лапласа от следующих

изображений:

а) F ( p) =

8 p − 1

б) F ( p) =

;

p 2 + 6 p − 16

p 2

+ 11p − 5

в) F ( p) =

p + 6

;

г) F ( p) =

2 p + 13

;

p 3 − p

p 3 − 1

г) F (p) =

2 p

;

д) F (p ) =

4 p + 7

5 p − 12

5 p − 3

Контрольные вопросы к теме 2

Основной уровень

1.Для каких изображений возможно применение теоремы Хэвисайда?

2.Что позволяет найти теорема Хэвисайда?

3.Сформулируйте теорему Хэвисайда для случая простых корней.

Углубленный уровень

1.Сформулируйте теорему Хэвисайда для случая кратных корней.

2.Какими будут комплексные корни знаменателя изображения, представляющего собой дробно-рациональную функцию с действительными коэффициентами?

3.Как следует преобразовать оригинал, полученный с помощью теоремы Хэвисайда, если корни знаменателя изображения комплексные?

Тема 3 Применение преобразования Лапласа

Тема 3 Применение преобразования Лапласа для решения

обыкновенных дифференциальных уравнений

Преобразование Лапласа позволяет упростить решение многих задач, в частности, свести решение многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального исчисления к решению алгебраических уравнений. Рассмотрим применение преобразования Лапласа для решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и их систем с постоянными коэффициентами.

Пример 3.1. Решить обыкновенное дифференциальное уравнение f ′′(t) − 3 f ′(t) + 2 f (t ) = e −5t с помощью преобразования Лапласа при начальных условиях: f (0) = 1, f ′(0) = 0 .

Решение. Возьмем преобразование Лапласа от обеих частей уравнения и применим свойство линейности преобразования Лапласа:

L [ f ′′(t) − 3 f ′(t) + 2 f (t)] = L[e −5t ] ;

L[ f ′′(t)]− 3L[ f ′(t)]+ 2L[ f (t)] =				1		.


				p + 5
Обозначим F ( p) = L [ f (t )]			и в		левой части уравнения выразим все
слагаемые	через	F ( p) .	Для			этого	воспользуемся	свойством

дифференцирования оригинала:

L[f (n) (t)]= p n F ( p) − ∑ p n − k f (k −1) (0) .

k =1

Тогда получим:

L[ f ′′(t )] = p 2 F ( p) − ∑ p 2−k f (k −1) (0) = p 2 F ( p) − p1 f (0) − p 0 f ′(0) =

k =1

= p 2 F ( p) − p ;

L[ f ′(t)] = pF ( p) − p 0 f (0) = pF ( p) − 1.

Подставим полученные выражения в уравнение и приведем подобные:

p 2 F ( p) − p − 3 (pF ( p) − 1)+ 2F ( p) =						1	;

						p + 5
						p + 5
F ( p) (p 2 − 3 p + 2)− p + 3 =			1	;

			p + 5
			p + 5
F (p)(p 2 − 3 p + 2)=	1	+ p − 3 =			p 2 + 2 p −14			;
F (p)(p 2 − 3 p + 2)=	p + 5	+ p − 3 =						;
	p + 5					p + 5

Тема 3 Применение преобразования Лапласа


F ( p) =	p 2	+ 2 p − 14		.
F ( p) =	( p + 5)( p 2		− 3 p + 2)	.
	( p + 5)( p 2		− 3 p + 2)

Обратите внимание, что в знаменателе изображения обязательно содержится множитель, являющийся характеристическим полиномом исходного дифференциального уравнения (в нашем случае p 2 + 3 p + 2 ).

Для нахождения

функции

f (t) воспользуемся теоремой

Хэвисайда:

R( p) = p 2 + 2 p − 14 ,

Q( p) = ( p + 5)( p 2 − 3 p + 2) = p 3 + 2 p 2 − 13 p + 10 , корни

многочлена Q( p) : λ = −5 , λ

= 2 ,

= 1 – простые; Q′( p) = 3 p 2 + 4 p − 13 .

A =

R(−5)

25 − 10 − 14

;

A =

R(2)

4 + 4 − 14

= −

;

Q′(−5)

75 − 20 − 13

Q′(2)

12 + 8 − 13

A =

R(1)

1 + 2 − 14

Q′(1)

+ 4 − 13 6

Получаем решение исходной задачи:

f (t ) =

−5t

−

Пример 3.2.

Решить

заданное

дифференциальное

уравнение

x′′(t) + 4x′(t) + 3x(t) = e6t

с помощью преобразования Лапласа при следующих

начальных условиях: x(0) = 1, x′(0) = −1.

Решение. Возьмем преобразование Лапласа от обеих частей уравнения:

L[x′′(t ) + 4x′(t) + 3x(t)] = L[e6t ] ;

L[x′′(t)]+ 4L[x′(t)]+ 3L[x(t)] =	1	.

	p − 6
	p − 6
Обозначим X ( p) = L[x(t)]	и в левой части уравнения выразим все

слагаемые через X ( p) , используя свойство дифференцирования оригинала:

L[ x′′(t )] = p 2 X ( p) − p1 x(0) − p 0 x′(0) = p 2 X ( p) − p + 1;

L[ x′(t)] = pX ( p) − p 0 x(0) = pX ( p) − 1.

Подставим полученные выражения в уравнение:

p 2 X ( p) − p + 1 + 4 ( pX ( p) − 1) + 3X ( p) =					1	;

				p − 6
				p − 6
X ( p) =	p 2	− 3 p − 17	.
X ( p) =	( p − 6)( p 2 + 4 p + 3)		.
	( p − 6)( p 2 + 4 p + 3)
Применим		теорему	Хэвисайда:			Q( p) = p3 − 2 p 2 − 21p − 18 ,

Тема 3 Применение преобразования Лапласа

Q′( p) = 3 p 2 − 4 p − 21 ,

R( p) = p 2 − 3 p − 17 . Корни многочлена

Q( p) : λ = 6 ,

λ2 = −1 , λ3 = −3 .

A =

R(6)

36 − 18 − 17

; A =

R(−1)

1 + 3 − 17

;

Q′(6)

108 − 24 − 21

Q′(−1)

3 + 4 − 21

A =

R(−3)

9 + 9 − 17

Q′(−3)

27 + 12 − 21

Решение исходной задачи:

x(t) =

e6t +

e −t +

e −3t .

Пример 3.3.

Решить дифференциальное

уравнение

f ′′(t) + 16 f (t) = et

с помощью преобразования Лапласа при условии выполнения следующих начальных условий f (0) = 1, f ′(0) = 3 .

Решение аналогично примерам 3.1, 3.2.

Ответ: f (t ) =

sin 4t +

cos 4t +

et .

Пример 3.4.

Решить

заданное

дифференциальное

уравнение

f ′′(t) + 4 f ′(t) + 3 f (t) = e−t

с помощью

преобразования Лапласа

при условии

выполнения следующих начальных условий f (0) = 3 , f ′(0) = 2 .

Решение аналогично примерам 3.1, 3.2.

Ответ:

f (t) = −

e−3t

e−t

te−t .

Пример 3.5. Найти общее решение уравнения

2 x(t )

dx(t )

+ 5x(t ) = t et .

dt 2

Решение. Находим изображение правой части: L[tet ] =

( p − 1)

Обозначим

L[x(t)] = X ( p) ,

x(0) = x , x′(0) = x′

( x и

x′

играют роль

произвольных постоянных). Учитывая, что

= p X

( p) − x , L

d 2 x

= p2 X ( p)

− x p − x′

;

dt 2

получим:

( p2 + 2 p + 5) X ( p) − x ( p + 2) − x′ =

;

( p − 1)2

Тема 3 Применение преобразования Лапласа

X ( p) = x

p + 2

+ x′

( p2

p2 + 2 p + 5

0 p2 + 2 p + 5 ( p + 1)2

+ 2 p + 5)

p + 2

p + 1

Далее x

= x

, тогда

0 p2 + 2 p + 5

( p + 1)2 + 22

2 ( p + 1)2

+ 22

L−1

p + 2

= x0e−t (cos 2t +

sin 2t) .

+ 2 p +

Аналогично x′

x′

тогда

+ 1)2

+ 22

0 p2 + 2 p + 5 2 ( p2

L−1

x′

e−t

sin 2t .

+ 2 p +

Для отыскания оригинала последнего слагаемого представим его в виде суммы простых дробей непосредственно, не прибегая к формуле Хэвисайда.

Cp + D

;

( p − 1)2 ( p2 + 2 p + 5)

( p − 1)2

( p − 1)

( p2 + 2 p + 5)

1 = A( p2 + 2 p + 5) + B( p − 1)( p2 + 2 p + 5) + (Cp + D)( p − 1)2 .

Пусть p = 1, тогда 1 = 8 A и A =

Пусть p = −1 + 2 i , тогда:

1 = (C (− 1 + 2i )+ D)(− 2 + 2i )2 = (D − C + 2iC )(− 8 i ) = 16C − 8 i (D − C );

откуда C =

, D − C = 0 , тогда C = D =

Коэффициент

B определяем из условия равенства нулю коэффициентов

при p3

правой части полученного равенства, т. е. B + C = 0, B = −С = −

Итак,

так как

−

p + 1

, то

( p − 1)2 ( p2 + 2 p + 5) 8 ( p − 1)2

16 ( p − 1) 16 ( p + 1)2 + 4

L−1

t et

e −t

(

)2 (

) =

−

cos 2t .

−1

+ 2 p + 5

Собирая оригиналы всех слагаемых, находим решение уравнения:

2t −1

+ x′

x(t ) =

+ e −t

cos 2t +

sin 2t

=2t −1 et + e −t (C1 cos 2t + C2 sin 2t ), 16

				1				′
где C	= x		+		, C		=	x0 + x0	.
		0				2
1			16				2

Тема 3 Применение преобразования Лапласа

	2t −1								1				′
Ответ: x(t ) =		et + e	−t (C cos 2t + C		sin 2t ), C	= x		+		, C		=	x0 + x0	.
				2			0				2
	16		1		1			16				2

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно интегрировать операционным методом так же, как и отдельные уравнения. Все отличие заключается в том, что вместо одного уравнения, содержащего изображение искомой функции, мы приходим к системе таких уравнений, причем система эта будет в отношении изображений линейной алгебраической.

Пример 3.6. Проинтегрировать систему линейных дифференциальных уравнений при условии выполнения заданных начальных условий:

dx	+ 3x − 4 y = 9 e


dt		dy
	+		− 3 y = 3e
2x
		dt

x(0) = 2, y(0) = 0 .

;

Решение.

Обозначим:

L[x(t)] = X ( p) ,

L[ y(t)] = Y ( p) ,

тогда

= pY ( p) . Подставляя в систему, получаем:

= p X ( p) − 2 , L

( p + 3) X

( p) − 4Y ( p) −

2 =

p − 2

;

2 X ( p) +

( p − 3)Y ( p) =

p − 2

2 p + 5

( p + 3) X

( p) − 4Y ( p) =

p − 2

2 X ( p) +

( p − 3)Y ( p) =

p − 2

Решая систему относительно X (p) и Y (p), получаем:

X ( p) =

2 p2

− p − 3

2 p − 3

( p2 − 1)( p − 2)

( p −1)( p − 2)

p − 1

p − 2

Y ( p) = −

p + 1

= −

−

( p − 1)( p − 2)

p − 1

p − 2

( p2 − 1)( p − 2)

Возьмем обратное преобразование Лапласа и запишем искомые функции:

x(t) = et + e2t ; y(t) = et − e2t .

Ответ: x(t) = et + e2t ; y(t) = et − e2t .

Тема 3 Применение преобразования Лапласа

Примеры 3.5, 3.6 демонстрируют преимущества операторного метода при решении дифференциальных уравнений и систем: возможность найти частные решения системы, минуя общие; более удобная форма представления общего решения системы, позволяющая сразу, прямой подстановкой начальных условий, выделить из общего решения требуемое частное решение.

	Задачи для самостоятельного решения к теме 3
Задача 3.1. Решить поставленную		задачу Коши с помощью
преобразования Лапласа:
а)	f ′′(t ) + 6 f ′(t) + 5 f (t) = e −2t , f (0) = 2 ,	f ′(0) = −1;
б) x′′(t) − 3x′(t) + 2x(t) = e −3t , x(0) = −2 ,		x′(0) = 1;
в)	f ′′(t) + f ′(t) + f (t) = e t , f (0) = 1, f ′(0) = 3 ;
г)	x′′(t) − 3x′(t) − 10x(t ) = e 5t , x(0) = −1 ,	x′(0) = 1.

Контрольные вопросы к теме 3

Основной уровень

1.Для решения каких дифференциальных уравнений целесообразно применение преобразования Лапласа?

2.Какие свойства преобразования Лапласа следует применять при решении дифференциальных уравнений и систем?

3.Какое уравнение относительно неизвестного изображения получается в результате применения преобразования Лапласа к линейному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами?

Углубленный уровень

1.Какие преимущества по сравнению с классическими методами дает применение операционных методов при решении дифференциальных уравнений и систем?

2.Возможно ли применение операционных методов для решения уравнений в частных производных? Для решения уравнений с переменными коэффициентами?

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.2025651 Кб0Метод.рекомендации ГМЦ 15-16.doc
#
01.07.2025250 Кб0Метод.рекомендации для самост.изучения.Менеджмент.docx
#
01.07.2025715 Кб1Метод.рекомендации, 2013 укр.(ред).doc
#
09.11.2019652 Кб2Метод[1]. Экологическое 2007.doc
#
12.11.20195 Мб5метод1-3.docx
#
13.04.2015718 Кб8Метода_ТУ.pdf
#
12.11.2019791 Кб2Методвказівки для сам. вивчення_Інформатика. ОІ...doc
#
01.04.2025418 Кб0Методика анализа хоздеят. (для дипломов).doc
#
26.04.201971 Кб3Методика викладення дієслова.docx
#
16.03.2016223 Кб24методика вищ шк магістр.doc
#
01.05.20254 Мб1Методика Имитационное моделирование и функциона...doc