Метода_ТУ

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

7. Колебательное звено: W (p) =

+ 2ψ S p + 1

+ 2ψ S p + 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

717.86 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Тема 9 Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

Рис. 9.5 – График ЛАЧХ интегрирующего звена

График ЛАЧХ апериодического звена приведен на рис. 9.6 (пунктирная линия – график ЛАЧХ, сплошные линии – графики сопрягающих асимптот).

Рис. 9.6 – График ЛАЧХ апериодического звена

ЛАЧХ звена: L(ω ) = −20 lg (1 − S 2ω 2 )2 + 4ψ 2 S 2ω 2

График ЛАЧХ колебательного звена приведен на рис. 9.7 (пунктирная линия – график ЛАЧХ, сплошные линии – графики сопрягающих асимптот).

Рис. 9.7 – График ЛАЧХ колебательного звена

Тема 9 Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

Пример 9.1. Найти ЛАЧХ и построить ее график в логарифмическом

3 p

масштабе частот для системы с передаточной функцией W ( p) = 2 p + 5 .

Решение. Запишем выражение ЛАЧХ данной системы.

W (iw) =

3iw

iw(5 − 2iw)

6w2 + 15iw

2iw + 5

25 + 4w2

A(w) =

36w4 + 225w2

= 3w

4w2 + 25

(25 + 4w2 )2

25 + 4w2

L(w) = 20lg

= 20lg 3w − 20lg

25 + 4w2 .

25 + 4w2

Построение эскиза ЛАЧХ осуществим по следующей схеме:

1)определим, какие типовые звенья и с какими параметрами составляют данную систему;

2)изобразим эскизы ЛАЧХ или сопрягающих асимптот ЛАЧХ всех типовых звеньев, составляющих систему;

3)выпишем уравнения соответствующих ЛАЧХ;

4)по результатам выполнения пп. 2), 3) определим «ключевые» точки на оси ω и осуществим их корректную расстановку с учетом того, что ось ω имеет десятичный логарифмический масштаб;

5)определим наклоны на каждом участке, образованном выявленными ключевыми точками;

6)вычислим значения результирующей ЛАЧХ в некоторых ключевых точках;

7)построим эскиз результирующей ЛАЧХ.

Выделим типовые звенья системы, для этого представим передаточную функцию в виде:

				3	p
	3 p			5	p
	3 p			5
W ( p) =		=				.
W ( p) =	2 p + 5	=	2	p +1		.
5				p +1
5
Система имеет 3 типовых звена:
1) усилительное звено, W (p) =								3	, параметр K =						3	;
1) усилительное звено, W (p) =									, параметр K =							;
						1	5						5
							5						5
2) чисто дифференцирующее звено, W2 (p) = p ;
3) апериодическое звено,							W (p)			=	1			, параметр τ =			2	.
3) апериодическое звено,							W (p)			=				, параметр τ =				.
							3				2						5
											2	p	+ 1				5
											5	p	+ 1
											5

Тема 9 Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

Построим графики ЛАЧХ L1 (ω ), L2 (ω ), L3 (ω ) типовых звеньев системы, используя известные свойства типовых звеньев (для апериодического звена

построим график сопрягающих асимптот L′		(ω ), см. рис. 9.8 – 9.10).
3
		ω
	0	lg


3		L1 (ω )
20 lg
20 lg
5

Рис. 9.8 – График L1 (ω ) для примера 9.1

		L2 (ω )	20	дб
20			20	дек.
				дек.


					ω
0


1	10				lg

Рис. 9.9 – График L2 (ω ) для примера 9.1

				ω
0
0
1 5				lg
	L′	(ω )
2	L′	(ω )
2	3		дб
		− 20	дб
		− 20	дек.
			дек.
Рис. 9.10 – График L′	(ω ) для примера 9.1
3

В соответствии со свойствами типовых звеньев, результирующая асимптота ЛАЧХ равна:

L′(ω ) = L	(ω ) + L	(ω )+ L′	(ω ).
1	2	3

Выпишем уравнения соответствующих ЛАЧХ и асимптот.

Тема 9 Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

L (w) = 20 lg											3		, причем 20 lg												3	≈ −4,44 ;
L (w) = 20 lg													, причем 20 lg													≈ −4,44 ;
1							5																5
							5																5
L2 (ω ) = 20 lg w ;
														2							5
				− 20 lg											w, w >							,
′	(		)	− 20 lg										5	w, w >						2	,
′	(		)	=										5							2
L3	ω			=													5
												0, w ≤					5		.
												0, w ≤							.
																2
Ключевой точкой на оси ω в данном случае является ω =																																										5			(в этой точке
Ключевой точкой на оси ω в данном случае является ω =																																													(в этой точке
																																							2
меняется наклон L′ (ω )), для расстановки на оси ω вычислим: lg																																											5		≈ 0,38.
																																													≈ 0,38.
							3																																2
																																							2
Вычислим наклоны асимптоты на интервалах																																	0;	5	и		5		; + ∞							:
Вычислим наклоны асимптоты на интервалах																																	0;		и				; + ∞							:
																																		2		2
при									5				наклон асимптоты равен: (0 + 0 + 20) = 20																											дб
			ω			0;																																						;
			ω			0;			2																													дек.						;
при						5								наклон асимптоты равен: (0 + 20 − 20)																									дб
			ω					;+∞																												= 0										.
			ω					;+∞																												= 0										.
						2																																	дек.
Вычислим значения асимптоты ЛАЧХ в ключевых																																					точках. При ω = 1
значение асимптоты равно:
L′(1) = L (1)+ L (1)+ L′ (1) = 20 lg																												3	+ 20 lg1 + 0 ≈ −4,44 .
L′(1) = L (1)+ L (1)+ L′ (1) = 20 lg																													+ 20 lg1 + 0 ≈ −4,44 .
				1									2			3											5
																											5
При ω =					5		значение асимптоты равно:
При ω =							значение асимптоты равно:
				2
L′		5		= L						5			+ L					5		+ L′				5			= 20 lg			3	+ 20 lg	5	+ 0 = 20 lg							3	≈ 3,52 .
L′				= L									+ L							+ L′							= 20 lg				+ 20 lg		+ 0 = 20 lg								≈ 3,52 .
2						1	2							2		2					3		2				5				2								2

Искомый график сопрягающих асимптот ЛАЧХ приведен на рис. 9.11.

L(ω )
20

	3	1			ω
					ω

20 lg
			5	10	lg
				10
5
		2

Рис. 9.11 – График L′(ω ) для примера 8.1

Тема 9 Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

Пример 9.2. Найти ЛАЧХ и построить ее график в логарифмическом масштабе частот для системы с передаточной функцией

4 p2 (p + 3)

W ( p) = ( ) .

4 p2 +1 (2 p + 5)

Решение. Запишем выражение ЛАЧХ данной системы.

W (iw) =

4(iw)2 (iw + 3)

− 4iw3 − 12w2

(−4iw3 − 12w2 )(5 − 2iw)

(4(iw)2 + 1)(2iw + 5)

(1 − 4w2 )(5 + 2iw) (1 − 4w2 )(25 + 4w2 )

8w4 − 60w2

4w3

+ i

(1 − 4w2 )(25 + 4w2 )

A(w) =

64w8 − 960w6 + 3600w4 − 16w6

= w2

64w4 − 976w2 + 3600

(1 − 4w2 )2 (25 + 4w2 )2

(1 − 4w2 )(25 + 4w2 )

L(w) = 20lg w2

64w4 − 976w2 + 3600

(1 − 4w2 )(25 + 4w2 )

Построим график сопрягающих асимптот ЛАЧХ как сумму графиков сопрягающих асимптот входящих в систему типовых звеньев.

Выделим типовые звенья системы.

											12					2	1
			4 p2 (p + 3)												p					p + 1
															p					p + 1
	W ( p) =						=				5						3								.
	W ( p) =	(		2	)(	)	=				2														.
		4 p			+ 1 2 p +	5								p + 1 (4 p								2 + 1)
					+ 1 2 p +									p + 1 (4 p								2 + 1)
											5
	Система имеет 6 типовых звеньев:
	1) усилительное, W (p) =							12					, K =					12			;
	1) усилительное, W (p) =												, K =								;
					1				5								5
									5								5
	2), 3) два чисто дифференцирующих, W2 (p) = W3 (p) = p ;
	4) дифференцирующее 1-го порядка, W (p) =																										1	p + 1, T =		1	;
	4) дифференцирующее 1-го порядка, W (p) =																											p + 1, T =			;
																						4				3			3
																										3			3
	5) колебательное, W5					(p) =					1								, S = 2 ;


										4 p 2 + 1
	6) апериодическое W (p) =										1								, τ =				2	.
	6) апериодическое W (p) =																		, τ =					.
					6							2										5
												2			p	+ 1						5
											5				p	+ 1
											5
	Построим графики ЛАЧХ L (ω ), L																					(ω ), L				(ω )			и асимптот ЛАЧХ L′			(ω ),
											1						2								3				4
L′	(ω ), L′ (ω )		типовых звеньев системы, используя известные свойства типовых
5	6

звеньев (рис. 9.12–9.17).

Тема 9 Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

20 lg

L1 (ω )

Рис. 9.12 – График L1 (ω ) для примера 9.2

(ω )+ L3

(ω )

дб

дек.

Рис. 9.13 – График L2 (ω )+ L3 (ω ) для примера 9.2

20 дб 20 дб

дек. дек.

L′ (ω )

10 lg

Рис. 9.14 – График L′ (ω ) для примера 9.2

L′

(ω )

дб

− 40

дек.

Рис. 9.15 – График L′

(ω ) для примера 9.2

Тема 9 Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

L′

(ω )

10 lg

− 20

дб

Рис. 9.16 – График L′

(ω ) для примера

9.2

дек.

В соответствии со свойствами типовых звеньев, результирующая

асимптота ЛАЧХ равна

L′(ω ) = L

(ω ) + L

(ω )

+ L

(ω ) + L′

(ω ).

Выпишем уравнения соответствующих ЛАЧХ и асимптот.

		L (ω ) = 20 lg								12		, причем 20 lg												12	≈ 7,6 .
		L (ω ) = 20 lg										, причем 20 lg													≈ 7,6 .
1						5															5
						5															5
		L2 (ω) = L3 (ω) = 20 lgω ;
						1
		′	( )		20 lg									ω, ω > 3,
		′	( )		20 lg									ω, ω > 3,
		L4	ω		=	3
						0,							ω ≤ 3;
						0,							ω ≤ 3;
																					1
					− 40 lg 2ω, ω >																	,
		′	(	)	− 40 lg 2ω, ω >																2	,
		′	(	)	=																2
		L5	ω		=												1
											0, ω ≤						1		;
											0, ω ≤								;
																2
														2		ω, ω >					5
					− 20 lg																		,
		′	(	)	− 20 lg									5							2		,
		′	(	)	=									5							2
		L6	ω		=													5
						0,									ω ≤			5		.
						0,									ω ≤					.
																2
		Ключевыми точками на оси ω в данном случае являются																												ω =				1	,	ω			=	5	,
		Ключевыми точками на оси ω в данном случае являются																												ω =					,	ω		2	=		,
																														1			2					2	2
																																	2						2
ω3 = 3 ;			для			корректной расстановки этих точек																				на		оси		ω				вычислим:
lg	1	≈ −0,30 , lg					5		≈ 0,38, lg 3 ≈ 0,48 .
lg		≈ −0,30 , lg							≈ 0,38, lg 3 ≈ 0,48 .
2						2
		Определим наклоны асимптоты на интервалах																								0;	1	,		1	;	5		,			5	;3 и
		Определим наклоны асимптоты на интервалах																								0;		,			;			,				;3 и
																											2		2 2						2
(3;+∞).
								1																										дб
		При ω				0;							наклон асимптоты равен: (0 + 40 + 0 + 0 + 0) = 40																							;
		При ω				0;		2					наклон асимптоты равен: (0 + 40 + 0 + 0 + 0) = 40																				дек.			;

Тема 9 Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

дб

при ω

;

наклон асимптоты (0 + 40 − 40 +

0 + 0) = 0

;

дек.

дб

при ω

;3 наклон асимптоты равен: (0 + 40 − 40 − 20 + 0) = −20

;

дек.

при ω (3;+∞)

наклон асимптоты равен: (0 + 40 − 40 − 20 + 20) = −20

дб

дек.

Вычислим значения асимптоты ЛАЧХ в ключевых точках.

L′

= ∑Lk

= 20 lg

+ 40 lg

+ 0 = 20 lg

≈ −4,44 ;

k =1

L′

= L′

= 20 lg

≈ −4,44 ;

6		12		6		1
L′ (3) = ∑Lk	(3) = 20 lg		+ 40 lg 3 + 0 − 40 lg 6 − 20 lg		= 20 lg		≈ −6,02 .

k =1	5			5	5

Искомый график сопрягающих асимптот ЛАЧХ приведен на рис. 9.17.

								40	дб
20								40	дек.
									дек.
												дб
											20	дб
	12										20	дек.
												дек.
20 lg
20 lg
5			1		1		5
5			1		1	1	5	3					ω
		10		2						10
		10		2			2			10

− 20			− 20	дб
			− 20	дек.
				дек.
	L(ω )
− 40		дб
	− 40	дб
	− 40	дек.
		дек.
	Рис. 9.17 – График L′(ω ) для примера 9.2

Задачи для самостоятельного решения к теме 9

Задача 9.1. Найти ЛАЧХ и построить ее график в логарифмическом масштабе частот для системы с передаточной функцией:

а) W (p) =	2 p + 7	;	б) W (p) =	2 p 2 + 3 p	;	в) W (p) =		3 p + 9	.

	p 2 + 9			p 2 + 4 p + 1			2 p	2 + 4 p + 5

Тема 9 Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

Контрольные вопросы к теме 9

Основной уровень

1.Сформулируйте определение ЛАЧХ динамической системы.

2.В чем отличие логарифмического масштаба оси от обычного? К чему это приводит?

Углубленный уровень

1.Сформулируйте свойства типовых звеньев, позволяющие облегчить построение эскиза ЛАЧХ динамической системы.

2.Перечислите этапы, которые выполняются при построении эскиза ЛАЧХ

спомощью информации о типовых звеньях.

Тема 10 Асимптотическая устойчивость

Тема 10 Асимптотическая устойчивость динамической системы

Определение. Динамическая система называется асимптотически устой- чивой, если свободное движение системы (свободные колебания системы) после снятия возмущения с течением времени затухают.

Если функционирование системы описывается дифференциальным уравнением вида:

d n x

+ ... + a

+ a

x(t ) = b

d m y

+ ... + b

+ b y(t ),

(10.1)

n dt n

dt m

1 dt

то факт снятия

возмущения

означает

y (t ) ≡ 0 ,

тогда

свободное

движение

системы является решением уравнения:

d n x

+ ... + a

+ a

x(t ) = 0 ,

(10.2)

dt n

1 dt

с учетом некоторых начальных условий.

Таким образом, фраза «свободное движение системы с течением времени

затухает» означает, что lim xсв (t ) = 0 , где xсв (t ) – решение дифференциального

t →∞

уравнения (10.2).

Пример 10.1. Исследовать

на устойчивость по определению

систему с

передаточной функцией

W ( p) =

2 p + 3

p 2 − 3 p + 2

Решение. Найдем функцию xсв (t ),

определяющую свободные колебания

системы. Для этого запишем дифференциальное уравнение системы.

W ( p) =

2 p + 3

X (p)

;

p 2 − 3 p + 2

Y (p)

(p 2 − 3 p + 2)X (p ) = (2 p + 3)Y (p );

d 2 x

− 3

+ 2x(t ) = 2

+ 3y(t ).

dt 2

Полагая в полученном дифференциальном уравнении y(t ) ≡ 0 , получаем

уравнение для определения свободных колебаний системы:

d 2 x

− 3

+ 2x = 0 .

dt 2

Характеристический полином уравнения:

D(p ) = p 2 − 3 p + 2 ,

его корни:

λ = 1,

= 2 . Тогда x

св

(t) = C et + C

e2t

, C ,C

R .

Заметим, что характеристический полином уравнения D(p ) = p 2 − 3 p + 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.20153.11 Mб13Метод. указания для заочников.doc
#
11.11.2019930.82 Кб5метод.doc
#
12.11.20195.03 Mб2метод1-3.docx
#
09.11.2019652.29 Кб1Метод[1]. Экологическое 2007.doc
#
03.09.2019118.78 Кб1Метод_стажировка.doc
#
13.04.2015717.86 Кб6Метода_ТУ.pdf
#
12.11.2019791.04 Кб2Методвказівки для сам. вивчення_Інформатика. ОІ...doc
#
26.04.201971.4 Кб1Методика викладення дієслова.docx
#
16.03.2016223.23 Кб22методика вищ шк магістр.doc
#
10.11.20194.89 Mб83МЕТОДИКА тр. н. Веремійчик в поч.шк..doc
#
16.03.201632.09 Кб34Методики ШПС.docx