Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метода_ТУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

717.86 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Тема 7 Частотные характеристики

Выделим действительную и мнимую части АФЧХ, домножив ее числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю:

W (iw) =

Tiw

Tiw(1 − Tiw)

Tiw + T 2 w2

T 2 w2

+ i

Tiw + 1

(1 + Tiw)(1 − Tiw)

1 + T 2 w2

2 w2

1 + T

Отсюда U (w) = ReW (iω) =

T 2 w2

, V (w) = ImW (iω) =

1 + T 2 w2

Тогда АЧХ системы будет иметь вид:

A(ω) = W (iω) = U 2 (ω ) + V 2 (ω) =

T 4 w4

T 2 w2

Tw 1 + T

2 w2

(1 + T 2 w2 )2

1 + T 2 w2

ФЧХ соответственно примет вид:

V (ω )

Tω

ϕ(ω ) = ArgW (iω ) = arctg

= arctg

U (ω )

1 + T

Tω

1 + T

Продемонстрируем построение искомого годографа АФЧХ двумя

способами.

Первый способ. Для

построения годографа

АФЧХ

определим явную

U (ω ) 2

T 2ω

2 2

зависимость между

U (ω)

и V (ω ). Заметим, что

= (Tω )2 .

V (ω )

Tω

Тогда, подставив в U (ω), получим:

U (ω ) 2

(ω ) =

T 2ω 2

V (ω )

;

( )

1 + T

U ω

1 +

V (ω )

U (ω ) =

U 2 (ω )

;

U 2 (ω ) + V 2 (ω )

U 2 (ω ) + V 2 (ω ) − U (ω ) = 0 ;

U (ω ) −

+ V 2 (ω ) =

Полученное уравнение задает на плоскости окружность с центром в точке

и радиусом

Таким

образом,

годограф

АФЧХ – это указанная

; 0

окружность (рис. 7.1). Например, при ω =

: U

Тема 7 Частотные характеристики

iV (ω ) ω

W (iω )

ω = 0	U (ω)

1	1	ω = ± ∞
	2

Рис. 7.1 – Годограф АФЧХ для примера 7.1

Второй способ. Для построения годографа АФЧХ «по точкам» вычислим следующую таблицу значений.

				1			10		100		1		1
	ω	0														+ ∞
	ω	0			T			T		T	10T			100T		+ ∞

	U (ω)			1			100		10000		1		1
		0														1
		0		2			101		10001		101		10001			1

	V (ω)			1			10		100		10		100
		0														0
		0		2			101		10001		101		10001			0

	Заметим, что в силу					свойств частотных характеристик, U (−ω) = U (ω ),
V (−ω) = −V (ω ),			поэтому			таблица			содержит			только			неотрицательные

значения ω . Искомую кривую строим для положительных значений ω , часть кривой для отрицательных значений ω получаем симметричным отображением относительно действительной оси (см. рис. 7.2). Направление обхода по кривой определяем, двигаясь от меньшего значения ω к большему.

ω = 1

	iV (ω )	T
	iV (ω )	ω
ω =	1	W (iω ) ω =	10
ω =	10T	W (iω ) ω =	T
ω =	1	ω = 100
	100T		T
ω = 0		ω = ± ∞

1	1	U (ω)
	2

Рис. 7.2 – Годограф АФЧХ для примера 7.1, построенный «по точкам»

Тема 7 Частотные характеристики

Пример

7.2.

Найти

частотные характеристики

и построить

годограф

АФЧХ системы с передаточной функцией

W ( p) =

T2 p

, T1,T2

> 0 .

(T1 + T2 ) p + 1

Решение. Найдем АФЧХ системы.

W (iw) =

T1iw

T2iw(1 − (T1 + T2 )iw)

(T1 + T2 )iw + 1

(1 + (T1 + T2 )iw)(1 − (T1 + T2 )iw)

T iw + T (T + T )w2

T (T + T )w2

T w

+ i

1 + (T + T )2 w2

1 + (T + T )w2

1 + (T + T )2 w2

Действительная и мнимая части равны:

T (T + T )w2

T w

U (w) = Re W (iω) =

, V (w) = ImW (iω) =

1 + (T + T ) 2 w2

Тогда АЧХ системы имеет вид:

T 2 (T + T )2 w4

T 2 w2

= U 2 (ω) + V 2

A(ω) =

W (iω)

(ω) =

2 1

(1 +

(T + T )2 w2 )2

(1 + (T + T )2 w2 )2

T22 (T1 + T2 )2 w4 + T22 w2

T2 w

1 +

(T + T

)2 w2

+ (

1 2

ФЧХ имеет вид:

V (ω )

T w

T (T + T )w2

ϕ (ω ) = ArgW (iω ) = arctg

= arctg

1 2

U (ω )

(T1 + T2 )

1 +

(T1 + T2 )

= arctg

(T + T )2

Для построения годографа АФЧХ определим явную зависимость между

U (ω) и V (ω ). Заметим, что U (ω )

V (ω )

			T2U (w)
V (ω ) =		(T1	+ T2 )V (w)						;
V (ω ) =		1 +		U 2 (w)					;
				U 2 (w)
					V 2 (w)
					V 2 (w)
			U		2 (w)				T U (w)
V	2 (ω ) 1 +						=	2
V	2 (ω ) 1 +			2			=
			V	2				(T1 + T2 )
			V			(w)		(T1 + T2 )

= T2 (T1 + T2 )ω 2 = (T1 + T2 )w . Тогда: T2 w

;

U 2 (ω ) + V 2 (ω ) = T2U (ω );

T1 + T2

Тема 7 Частотные характеристики

( )

−

+ V

U ω

2(T1 + T2 )

Годограф

АФЧХ

на

комплексной

плоскости

представляет собой

и радиусом

(рис. 7.3).

; 0

окружность с центром в точке

2(T1 + T2 )

iV (ω )

ω = 0

W (iω )

ω = ± ∞

T2 U (ω)

(T1 + T2 )

2(T + T )

Рис. 7.3 – Годограф АФЧХ для примера 8.2

Задачи для самостоятельного решения к теме 7

Задача 7.1. Задана передаточная функция системы. Найдите АФЧХ, АЧХ

и ФЧХ системы и постройте годограф ее АФЧХ.
а) W ( p) =		T1 p		,T2 > 0 ;		б) W (p ) =	3 p + 5
			, T1					;
			, T1					;
	T2 p + 1						2 p + 4
в) W (p) =		2 p + 11			.


	p	2 − 2 p + 4

Контрольные вопросы к теме 7

Основной уровень

1.Какие характеристики относятся к частотным характеристикам системы?

2.Что такое годограф АФЧХ?

3.Опишите возможные способы построения годографа АФЧХ. Как определить направление обхода годографа?

Углубленный уровень

1.Что иллюстрирует годограф АФЧХ на комплексной плоскости?

2.Какими свойствами обладают частотные характеристики?

Тема 8 Типовые звенья

Тема 8 Типовые звенья динамических систем

Любая динамическая система может быть рассмотрена как соединение семи или менее типов звеньев. Классификацию типовых звеньев осуществляют, рассматривая различные частные формы дифференциального уравнения описания функционирования системы во времени. Для определения того, какие типовые звенья составляют систему, ее передаточную функцию целесообразно представить в стандартном виде:

	µ		η						p + 1)
	K pu ∏(T p + 1) ∏(C				2 p	2 + 2C	ξ	j	p + 1)
			k		j	j		j
W (p) =	k =1		j =1							,	(8.1)

	ρ		p + 1) ∏σ (S
	ρ							p + 1)
	pv ∏(τ	l		2 p 2		+ 2S ψ		p + 1)
		l		r		r r
	l =1		r =1

причем входящие в выражение (8.1) многочлены 2-й степени имеют комплексные корни.

Выражение (8.1) передаточной функцией имеет 7 типов сомножителей, поэтому выделяют 7 типовых звеньев соответственно виду сомножителя. Типовые звенья имеют следующие названия, обусловленные свойствами того или иного звена:

1)усилительное: W (p) = K ;

2)чисто дифференцирующее: W (p) = p ;

3)дифференцирующее первого порядка W (p) = Tp + 1;

4)дифференцирующее второго порядка: W (p ) = C 2 p 2 + 2Cξ p + 1 ;

5)интегрирующее: W (p) = 1 ;

6) апериодическое: W (p )

;

τp + 1

7) колебательное: W (p) =

S 2 p 2

+ 2Sψ p + 1

Пример 8.1. Определить, какие звенья и с какими параметрами составляют

систему с передаточной функцией W ( p) =

2 p + 1

3 p

2 + 4 p

Решение. Преобразуем передаточную функцию к стандартному виду (8.1):

(2 p + 1)

W ( p) =

2 p + 1

3 p 2 + 4 p

4 p

p +

Таким образом, система содержит 4 типовых звена:

Тема 8 Типовые звенья

1) усилительное звено с параметром K = 1 ;

2)дифференцирующее звено 1-го порядка с параметром τ = 2 ;

3)интегрирующее звено;

4)апериодическое звено с параметром T = 3 .

									4
Пример 8.2. Определить, какие звенья и с какими параметрами составляют
систему с передаточной функцией W ( p) =									4 p 3 + 2 p									.
систему с передаточной функцией W ( p) =																		.
									3 p 2 + p + 5
Решение. Преобразуем передаточную функцию к стандартному виду (8.1):
	4 p3 + 2 p			2 p(2 p 2 + 1)							2		p(2 p 2 + 1)
W ( p) =	4 p3 + 2 p	=		2 p(2 p 2 + 1)					=	5			p(2 p 2 + 1)
										5										.
	2																			.
	2			3		1			3					2		1
	3 p + p + 5			3		1			3					2		1
			5		p 2 +		p +	1				p			+		p		+ 1


				5		5			5							5

Заметим, что уравнения 2 p 2 + 1 = 0 и 3 p 2 + 1 p + 1 = 0 не имеют

5 5

действительных корней, следовательно, соответствующие полиному раскладывать на множители не следует.

Таким образом, система содержит 4 типовых звена:

1) усилительное звено с параметром K = 2 ;

2)чисто дифференцирующее звено;

3)дифференцирующее звено 2-го порядка с параметрами C = 2 , ξ = 0 ;

4) колебательное звено с параметрами S =

, ψ =

Пример 8.3. Определить, какие звенья и с какими параметрами составляют

систему с передаточной функцией W ( p) =

3 p 4 + 4 p 3 + p 2

(2 p + 3)(3 p 2 + 2 p + 6)?

Решение. Преобразуем передаточную функцию к стандартному виду (8.1).

W ( p) =

3 p 4 + 4 p3 + p 2

p 2 (3 p 2 + 4 p + 1)

)(

(

2 p + 3 3 p

+ 2 p + 6

p +

(3 p 2

+ 2 p

+ 6)

Заметим, что

полином

3 p 2 + 4 p + 1

имеет

два

действительных корня

= −1, p

= −

а полином

3 p 2 + 2 p + 6

действительных корней не имеет.

Тема 8 Типовые звенья

Следовательно,

																					1
							p 2 (3 p		2 + 4 p + 1)						3 p 2 (p +		1) p			+
															3 p 2 (p +		1) p			+
W ( p) =													=								3		=
W ( p) =					2								=	2			1				1		=
					3		p + 1 (3 p				2 + 2 p + 6)			3	p + 1	6		p	2 +			p + 1
					3		p + 1 (3 p				2 + 2 p + 6)			3	p + 1	6		p	2 +			p + 1
					3									3			2				3
			1	p 2 (p + 1)(3 p + 1)
=		18		p 2 (p + 1)(3 p + 1)
		18										.
	2					1		p 2 +	1			.
			p + 1							p	+ 1
			p + 1							p	+ 1
	3					2			3

Система содержит 7 типовых звеньев:

1) усилительное звено с параметром K = 1 ;

18 2), 3) два чисто дифференцирующих звена;

4)дифференцирующее звено 1-го порядка с параметром τ1 = 1;

5)дифференцирующее звено 1-го порядка с параметром τ 2 = 3;

6)апериодическое звено с параметром T = 2 ;

					3

7) колебательное звено с параметрами S =						1		, ψ =			2	.

					2						6
Пример 8.4. Определить, какие звенья и с какими параметрами составляют
систему с передаточной функцией W ( p) =			3 p 2 + 5 p + 2
			(4 p 2		+ 4)(2 p 2 + p ).
Решение. Преобразуем передаточную функцию к стандартному виду (8.1).
				2					1				3
	3 p 2 + 5 p + 2	3(p + 1) p +								(p + 1)				p + 1
				3					2				2

W ( p) =	(4 p 2 + 4)(2 p 2 + p)=						=								.
		4 p(p 2 + 1)(2 p + 1)							p(p 2 + 1)(2 p + 1)

Система содержит 6 типовых звеньев:

1) усилительное звено с параметром K = 1 ;

2 2) дифференцирующее звено 1-го порядка с параметром τ1 = 1;

3) дифференцирующее звено 1-го порядка с параметром τ 2 = 3 ; 2

4)интегрирующее звено;

5)апериодическое звено с параметром T = 2 ;

6)колебательное звено с параметрами S = 1, ψ = 0 .

Тема 8 Типовые звенья

Задачи для самостоятельного решения к теме 8

Задача 8.1. Определить, какие звенья и с какими параметрами составляют системы:

а) W (p) =	2 p + 7	;	б) W (p) =	2 p 2 + 3 p	;	в) W (p) =		3 p + 9	.
	p 2 + 9			p 2 + 4 p + 1			2 p	2 + 4 p + 5

Контрольные вопросы к теме 8

Основной уровень

1.Перечислите названия и передаточные функции типовых звентев.

2.К какому виду следует привести передаточную функцию для определения звеньев, составляющих систему?

Углубленный уровень

1.Каким типовым звеньям соответствуют сомножители числителя передаточной функции; знаменателя передаточной функции?

2.Дифференциальные уравнения каких порядков описывают типовые звенья системы?

Тема 9 Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

Определение. Логарифмической амплитудной частотной характеристи-

кой (ЛАЧХ) системы называется кривая, соответствующая 20 десятичным логарифмам модуля АФЧХ данной системы, построенная в десятичном логарифмическом масштабе частот: L(ω) = 20 lg W (iω) = 20 lg A(ω).

Для построения эскиза ЛАЧХ удобно использовать информацию о типовых звеньях, составляющих систему, ЛАЧХ которых просты и приведены далее. Согласно свойствам типовых звеньев, ЛАЧХ системы равна сумме ЛАЧХ составляющих ее типовых звеньев. Для упрощения построения вместо графиков ЛАЧХ типовых звеньев можно использовать графики сопрягающих асимптот ЛАЧХ.

Эскизы ЛАЧХ для типовых звеньев

1. Усилительное звено: W (p ) = K .

ЛАЧХ звена: L(ω ) = 20 lg W (iω ) = 20 lg K .

График ЛАЧХ усилительного звена приведен на рис. 9.1.

Рис. 9.1 – График ЛАЧХ усилительного звена

2. Чисто дифференцирующее звено: W (p ) = p . ЛАЧХ звена: L(ω ) = 20 lg ω .

График ЛАЧХ чисто дифференцирующего звена приведен на рис. 9.2.

Рис. 9.2 – График ЛАЧХ чисто дифференцирующего звена

Тема 9 Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

3. Дифференцирующее звено первого порядка: W (p ) = Tp + 1.

ЛАЧХ звена: L(ω ) = 20 lg 1 + T 2ω 2 .

График ЛАЧХ дифференцирующего звена первого порядка звена приведен на рис. 9.3 (пунктирная линия – график ЛАЧХ, сплошные линии – графики сопрягающих асимптот).

Рис. 9.3 – График ЛАЧХ дифференцирующего звена первого порядка

4. Дифференцирующее звено второго порядка: W (p) = C 2 p 2 + 2ξCp + 1.

ЛАЧХ звена: L(ω ) = 20 lg (1 − C 2ω 2 )2 + 4ξ 2C 2ω 2 .

График ЛАЧХ дифференцирующего звена второго порядка звена приведен на рис. 9.4 (пунктирная линия – график ЛАЧХ, сплошные линии – графики сопрягающих асимптот).

Рис. 9.4 – График ЛАЧХ дифференцирующего звена второго порядка

5. Интегрирующее звено: W (p) = 1 . p

ЛАЧХ звена: L(ω ) = −20 lg ω .

График ЛАЧХ интегрирующего звена приведен на рис. 9.5.

6. Апериодическое звено: W (p) =	1	.


	τ p + 1

ЛАЧХ звена: L(ω ) = −20 lg 1 + τ 2 ω 2 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.04.20153.11 Mб13Метод. указания для заочников.doc
#
11.11.2019930.82 Кб5метод.doc
#
12.11.20195.03 Mб2метод1-3.docx
#
09.11.2019652.29 Кб1Метод[1]. Экологическое 2007.doc
#
03.09.2019118.78 Кб1Метод_стажировка.doc
#
13.04.2015717.86 Кб7Метода_ТУ.pdf
#
12.11.2019791.04 Кб2Методвказівки для сам. вивчення_Інформатика. ОІ...doc
#
26.04.201971.4 Кб1Методика викладення дієслова.docx
#
16.03.2016223.23 Кб22методика вищ шк магістр.doc
#
10.11.20194.89 Mб83МЕТОДИКА тр. н. Веремійчик в поч.шк..doc
#
16.03.201632.09 Кб34Методики ШПС.docx