- •Предисловие
- •Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом высшей математики
- •Чтение учебника
- •Решение задач
- •Самопроверка
- •Консультации
- •Контрольные работы
- •Лекции, практические занятия.
- •Зачеты и экзамены
- •Вопросы для самопроверки Тема I. Векторная алгебра.
- •Тема II. Элементы линейной алгебры.
- •Тема III. Введение в математический анализ.
- •Тема IV. Производная и дифференциал.
- •Тема V. Возрастание и убывание функций. Экстремумы.
- •Тема VI. Построение графиков функций.
- •Тема VII. Неопределенный интеграл.
- •Тема VIII. Определенный интеграл.
- •Тема IX. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •Тема X. Ряды.
- •Тема XI. Теория вероятностей.
- •Тема XII. Элементы математической статистики.
- •Литература
- •Задачи для контрольных заданий Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры
- •Элементы линейной алгебры
- •Введение в математический анализ Раздел Функция.
- •Производная
- •Приложения производной
- •Приложение производной в экономике
- •81. 86.
- •Исследование функций и построение графиков
- •Неопределённый и определённый интегралы
- •121. ,. 126.
- •151. 152.
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •221. Закон распределения случайной величины имеет вид:
- •231. 232.
- •244. Плотность распределения случайной величины имеет вид:
- •248. Функция распределения случайной величины имеет вид:
- •249. Плотность распределения случайной величины имеет вид:
- •250. Случайная величина имеет нормальное распределение с плотностью:
121. ,. 126.
122. , . 127.
123. , . 128.
124. , . 129.
125. , . 130.
Пример.
а) Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой.
Находим точки пересечения данных кривых и строим искомую фигуру
Площадь фигуры, ограниченной снизу кривой , сверху – кривой,вычисляет интеграл , гдеи- абсциссы точек пересечения этих кривых, причем
Следовательно, имеем
Дифференциальные уравнения.
131 – 140. Найти общее решение дифференциального уравнения.
131. а). ; б). ; в). .
132. а). ; б). ; в). .
133. а). ; б). ; в). .
134. а). ; б). ; в). .
135. а). ; б). ; в). .
136. а). ; б). ; в)..
137. а). ; б).; в)..
138. а). ; б). ; в). .
139. а). ; б). ; в). .
140. а). ; б).; в). .
Пример.
а) .
Данное уравнение является уравнением с разделенными переменными. Проинтегрируем обе его части:
, получим: .
б). .
Для решения данного уравнения используем тот факт, что . Так как переменные в данном случае разделить нельзя, то выразим
, отсюда по правилу пропорции получаем:
, или .
В данном случае; .
Следовательно, данное уравнение – однородное. Делаем замену переменной
, , . После замены получим:
, , .
Получили уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим: , .
Интегрируя, находим общее решение
,,
.
Возвращаясь к старой переменной, получаем общий интеграл
.
в). .
Данное уравнение линейное. Ищем решение в виде , .
, .
Решаем уравнение. , , , , .
Подставляя полученное значение в уравнение, имеем:
, , .
Общее решение или.
, , , .
141–150. Найти общее решение дифференциального уравнения:
а). ; б).; в)..
а). ; б).; в)..
а). ; б).; в)..
а). ; б).; в)..
а). ; б).; в)..
а). ; б).; в)..
а). ; б).; в)..
а). ; б).; в)..
а). ; б).; в)..
а). ; б). ; в). .
Пример.а)..
Составим соответствующее характеристическое уравнение:
,
, .
Так как корни характеристического уравнения действительные, различные, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид , то есть имеем
.
б). .
Составим соответствующее характеристическое уравнение:
,
.
Так как корни характеристического уравнения действительные, одинаковые, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид , то есть имеем
.
в). .
Составим соответствующее характеристическое уравнение:
. Решим его при помощи вычисления дискриминанта:
. Так как в данном случае , то для вычисления квадратного корняиспользуем равенство. Так как(комплексная единица), то в данном случае. Таким образом, имеем в данном случаекомплексные корни:
.
Так как корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид , где и - соответственно действительная и мнимая части комплексных корней. В данном случае . Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:
.
Ряды.
151 – 160.Исследовать сходимость числового ряда.