§2.3. Связность

Граф называется связным, если любые две несовпадающие вершины в нем соединены маршрутом.

Очевидно, для связности графа необходимо и достаточно, чтобы в нем для какой-либо фиксированной вершины ии каждой другой вершиныvсуществовал (u,v)-путь.

Пусть задан граф G. Введем на множестве его вершинV(G) бинарное отношение. Будем говорить, что, если существует путь изв. При этом будет считать, что, их соединяет путь нулевой длины. Введенное отношение является отношением эквивалентности. Следовательно, оно определяет разбиение множества вершин графа на классы эквивалентности:. Обозначим черезподграф графа, порожденный множеством вершин. При этом

, ,.

Графы называютсякомпонентами связностиграфа.

Теорема.Для любого графа либо он сам, либо его дополнение является связным.

Доказательство.ПустьG– несвязный граф.А– одна из его компонент связности. ПоложимВ=VG \VA. Возьмем произвольную вершинуи графаА. Тогда для любой вершиныv из из множества вершинВв дополнительном графеесть реброuv. Следовательно, произвольная вершина изВсоединена си. Еслии₁– отличная оти вершина графаА, то для любой вершиныv из множества вершинВв дополнительном графетакже найдется реброu₁v. Таким образом найдется путь из вершиныи в вершинуu₁(через вершинуv). Следовательно, из вершиныи в графедостижима любая вершина, а значит, графявляется связным.Теоремадоказана.

Утверждение.ПустьG– связный граф,. Тогда:

1. если ребро епринадлежит какому-либо циклу графаG, то графсвязен;

2) если ребро ене входит ни в какой цикл, то графимеет ровно две компоненты связности.

Доказательство. 1). Пусть ребропринадлежит циклуZграфаG. Заменив в каждой-цепи, содержащейе, реброена цепь, получим путь, соединяющий вершиных иу, не содержащий ребрае. Следовательно, для любых двух несовпадающих вершин в графеG найдется-путь, не включающий реброе. Но тогда и графсвязен.

2) Пусть ребро ене входит ни в какой цикл графаG. Тогда, очевидно, вершиныии vвходят в разные компоненты связности графа. Обозначим их черезисоответственно. Для произвольной вершинывGнайдется-путь. Если реброев этот путь не входит, то. В противном случае. Утверждение доказано.

Обозначим через Рколичество ребер графа,В– количество вершин,K– количество компонент связности. Числоназываетсяцикломатическим числомграфа.

Теорема. Для любого графавыполняется неравенство

Доказательство проведем индукцией по числу вершинп. Прип= 1 получаем граф, состоящий из одной вершины, соответственно без ребер:. Неравенствовыполнено.

Предположим, что при любом количестве вершин, меньшем п, утверждение верно и докажем его для графа спвершинами. Обозначим их. Обозначим черезподграф графа, порожденный вершинами. Тогдапо предположению индукции. Пусть– количество ребер, вершин, компонент связности графа;– графа;k– количество ребер графа, не являющихся ребрами графа, т.е. степень вершины. Тогда. Возможны два случая.

а) , следовательно, вершина– изолированная. При этом. Следовательно,,.

б) . Если при этом всеkребер, инцидентных вершине, соединяют ее с различными компонентами связности графа, то, в остальных случаях. Таким образом,

. В итоге получаем . Теорема доказана.

Следствие. Для связного графа выполняется неравенство.