![](/user_photo/528_5NJmi.jpg)
- •Глава 3. Автоматы §3.1. Определение и примеры автоматов
- •§3.2. Диаграмма Мура и таблица автомата
- •Примеры решения задач
- •(А) (б) (в)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. §3.3. Продолжение функций и
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы:
- •§3.4. Приведённый автомат
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1 А) б) Рис. 3.18.
- •2 Табл. 3.11 Табл. 3.12 а) б).
Глава 3. Автоматы §3.1. Определение и примеры автоматов
Ф
Рис. 3.1имеет конечноемножество состояний
входной алфавит
выходной алфавит
причём в дискретные моменты времени
он принимает входной символ
изменяет (или сохраняет) своё состояние
и выдаёт на выходе символ
Изменение (или сохранение) состояния и
символ
на выходе автомата зависят от предыдущего
состояния и принятого на входе символа
Обозначая
через
и
входной и выходной символы, соответствующие
моменту времени
мы получим, что автомат
перерабатывает входную последовательность
в выходную последовательность
Для построения математической теории конечных автоматов необходимо дать строгое определение этому понятию, его мы сейчас приведём.
Конечным
автоматомназывается пятёркагде
конечные множества, а
и
отображения.
Отображение
называетсяфункцией переходов,
а отображение
функцией выходов. При этом
равенство
означает, что если автомат
находится в данный момент времени в
состоянии
и на его вход пришёл символа, то к
следующему моменту времени он перейдёт
в состояние
Далее, равенство
означает, что если текущее состояние
автомата есть
а на вход поступил символа, то на
выход будет послан символ
Работа автомата описывается системой канонических уравнений:
которая
должна быть дополнена начальным
условиемЗдесь
начальное, илиинициальноесостояние.
Замечания.
Автомат
в котором выделено начальное состояние
иногда называютинициальным автоматом.
Иногда у автомата
выделяют одно или несколько состояний (скажем,
), называемыхконечными, илифинальнымисостояниями. Смысл их состоит в том, что если автомат “попадёт” в состояние
то он прекращает свою работу.
Можно рассматривать вероятностные, илистохастическиеавтоматы, т.е. такие, в которых переход из одного состояния в другое и формирование выходного символа осуществляются не по жёстко заданному правилу, а с некоторой вероятностью, закон распределения которой должен быть указан. В отличие от вероятностных автоматов обычные автоматы называютдетерминированными.
Многие утверждения, касающиеся автоматов, справедливы и без предположения о том, что
конечные множества. Назовёмабстрактным автоматомпятёрку
где функции
и
определяются так же, как и раньше, т.е.
но множества
могут быть бесконечными.
В теории автоматов рассматриваются вопросы исследования поведения автоматов, т.е. реакции автомата на то или иное внешнее воздействие (под которым здесь понимается слово или буква входного алфавита), вопросысинтеза автоматов(т.е. построения автоматов с теми или иными свойствами), а также некоторые другие вопросы.
Рассмотрим некоторые примеры автоматов.
П
Рис. 3.2. Элемент
без памятиможно не рассматривать, а функция
зависит фактически только от пришедшей
на вход автомата буквы входного алфавита.
Канонические уравнения автомата выглядят
здесь совсем просто:
Так, в частности, работает автомат, который осуществляет перекодировку символов одного алфавита в другой (если при этом одна буква заменяется на другую).
П
Рис. 3.3. Элемент
задержкиа выходной символ представляет собой
задержанный на 1 такт (на 1 момент времени)
входной символ. Таким образом,
при всех
Построим этот автомат. Пусть
В качестве множества состояний возьмём
то же множество:
Тогда полагаем:
Здесь текущее состояние “запоминает”
поступившую букву входного алфавита,
а выходной буквой является предыдущее
состояние, т.е. “запомненная” буква.
Автоматы
определённые в этом параграфе, называютсяавтоматами Мили. Определим
теперьавтомат Мура, или автомат
без выхода.
Определение.
Автоматом Мура называется тройкагде
множества, а
отображение.
Множества
и
называются соответственно входным
алфавитом и множеством состояний.
Предполагается, что множества
и
конечны, хотя во многих вопросах это
не имеет значения. Функция
называется функцией переходов. Равенство
означает, что если автомат находится в
состоянии
и принимает символа, то должен
осуществиться его переход в состояние
Покажем,
что на самом деле в автомате Мили можно
“избавиться” от выходного алфавита
В, увеличив соответствующим образом
множество состоянийт.е.автомат Мили эквивалентен в
определённом смысле подходящему автомату
Мура. Пусть дан автомат Мили
Построим автомат Мура
В качестве множества состояний нового
автомата возьмём
входной алфавит сохраним прежним:
а функцию
определим следующим образом:
Автомат
Мура
эквивалентен автомату Мили
в том смысле, что
“работает” так же, как
но реакцией на входной сигнал является
не выходной символ
а изменённое более сложным образом
состояние, в котором фактически
“зашифрован” выходной символ