§3.2. Диаграмма Мура и таблица автомата

Наряду с каноническими уравнениями работа автомата может быть описана с помощью диаграммы Мура или таблицы.

Определение.Диаграммой Мураавтоматаназывается ориентированный граф, вершинами которого являются состоянияи для каждого равенства видаграф имеет ребро, идущее извна котором стоит меткагде

Н

Рис. 3.4

апример, следующей диаграммой Мура (см. рис. 3.4) изображается автомат, у которого

Таблицей автомата называется прямоугольная таблица сстроками истолбцами, причём в клетке, стоящей на пересечении-й строчки и-го столбца написаны символыи

Н

Табл. 3.1

апример, автомат из предыдущего примера может задаваться таблицей

Примеры решения задач

З

(А) (б) (в)

Рис. 3.5

адача 1.Выяснить, является ли следующий граф диаграммой Мура некоторого автомата:

Решение. Граф (а) не является диаграммой Мура никакого автомата, так как на диаграмме не указано, в какое состояние должен переходить автомат, если он находится в состояниии получает на входе символ 1.

Граф (б) также не является диаграммой Мура, так как переход из состояния при получении символаопределён неоднозначно.

Граф (в) является диаграммой Мура конечного автомата.

Из определения конечного автомата и диаграммы Мура следует, что ориентированный граф, ребра которого помечены символами (является диаграммой Мура некоторого конечного автомата в том и только том случае, если из каждого состояниявыходит по одной стрелке для каждого символа

З

Рис. 3.6

адача 2.Построить таблицу автомата, заданного следующей диаграммой Мура (рис. 3.6):

Р

Табл. 3.2

ешение.Так какито в клеткенадо записать символыи 0. Аналогично заполняются другие клетки таблицы, и мы получаем табл. 3.2.

Задача 3.Построить диаграмму Мура автомата, заданного таблицей 3.3.

Р

Табл. 3.3

ешение.Первая клетка показывает, что автомат, находясь в состояниии приняв символ 0, должен перейти в состояниеи выдать на выход символ 2. Следовательно, извдолжно идти ребро, помеченное символами 0 и 2 (см. рис. 3.7).

Р

Рис. 3.7

Рис. 3.8

ассуждая аналогично для других клеток, мы получаем диаграмму Мура данного автомата (см. рис. 3.8):

Задача 4.Автомат, у которогозадан каноническими уравнениями

Построить диаграмму Мура этого автомата.

Р

Рис. 3.9

ешение.ПустьТогдаиСледовательно, на диаграмме Мура из кружочка, обозначающего состояние 0, в этот же кружочек должна идти стрелка, помеченная символами 0, 0. Пусть теперь, скажем,,Тогдаи. Значит, из кружочка с номером 2 в кружочек с номером 0 идёт стрелка, помеченная символами 0, 0. Рассматривая ана-логичным образом остальные случаи, получим диаграмму Мура (см. рис. 3.9).

Задачи для самостоятельного решения

1. Автомат задан каноническими уравнениями

гдеПостроить диаграмму Мура автомата

2. Автомат таков, что

3

Рис. 3.10.

. Написать канонические уравнения автомата, заданного следующей диаграммой Мура (см. рис. 3.10):

Ответы

1

Табл. 3.4

Рис. 3.11

.См. рис. 3. 11.2.См. табл. 3.4.

3. §3.3. Продолжение функций и

Пусть конечный алфавит. Обозначим черезмножество всех словЧислоназываетсядлинойсловаи обозначаетсяНапример, еслитоСлово, в котором нет ни одной буквы, будем называтьпустым словоми обозначать символомОчевидно,Пустьмножество всех слов длиныамножество всех непустых слов. Полагаем. Очевидно,

Произведениемдвух словназывается слово, полученное приписыванием к словусправа словаТаким образом, еслитоНетрудно проверить, что произведение слов ассоциативно, т.е.для любыхВообще, произведение словне зависит от расстановки скобок (но зависит от порядка сомножителей). В частности,

Произведение слов некоммутативно, так как в общем случае

Множество, на котором задана ассоциативная операция, называется полугруппой. Полугруппав которой естьединица, т.е. такой элементе, чтодля всехназываетсямоноидом. Множестваиявляются полугруппами. Кроме того,моноид (так какдля всехто пустое словоявляется единицей). Полугруппамоноидом не является. Действительно, еслипри некоторых, то, откуда, что невозможно, так как.

Функции иможно продолжить до функцийиследующим образом. Положим

при

при

при

при

Функция несёт информацию о том, в какое состояние перейдёт автомат, если на его вход будут поступать последовательно несколько букв из алфавитаДействительно, если в какой-либо момент автомат находится в состоянииа на его вход поступают буквыто будут осуществляться следующие переходы в другие состояния:

т.е. в конце концов автомат окажется в состоянии Аналогичным образом интерпретируется функцияА именно,гдебуква, которая будет выдана автоматом на-м шаге.