
- •Глава 3. Автоматы §3.1. Определение и примеры автоматов
- •§3.2. Диаграмма Мура и таблица автомата
- •Примеры решения задач
- •(А) (б) (в)
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. §3.3. Продолжение функций и
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Ответы:
- •§3.4. Приведённый автомат
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •1 А) б) Рис. 3.18.
- •2 Табл. 3.11 Табл. 3.12 а) б).
§3.2. Диаграмма Мура и таблица автомата
Наряду с каноническими уравнениями работа автомата может быть описана с помощью диаграммы Мура или таблицы.
Определение.Диаграммой Мураавтоматаназывается ориентированный граф,
вершинами которого являются состояния
и для каждого равенства вида
граф имеет ребро, идущее из
в
на котором стоит метка
где
Н
Рис. 3.4
Таблицей
автомата называется прямоугольная таблица с
строками и
столбцами, причём в клетке, стоящей на
пересечении
-й
строчки и
-го
столбца написаны символы
и
Н
Табл. 3.1
Примеры решения задач
З
Рис. 3.5(А) (б) (в)
Решение.
Граф (а) не является диаграммой Мура
никакого автомата, так как на диаграмме
не указано, в какое состояние должен
переходить автомат, если он находится
в состояниии получает на входе символ 1.
Граф
(б) также не является диаграммой Мура,
так как переход из состояния
при получении символа
определён неоднозначно.
Граф (в) является диаграммой Мура конечного автомата.
Из
определения конечного автомата и
диаграммы Мура следует, что ориентированный
граф, ребра которого помечены символами
(
является диаграммой Мура некоторого
конечного автомата в том и только том
случае, если из каждого состояния
выходит по одной стрелке для каждого
символа
З
Рис. 3.6
Р
Табл. 3.2
и
то в клетке
надо записать символы
и 0. Аналогично заполняются другие клетки
таблицы, и мы получаем табл. 3.2.
Задача 3.Построить диаграмму Мура автомата, заданного таблицей 3.3.
Р
Табл. 3.3
и приняв символ 0, должен перейти в
состояние
и выдать на выход символ 2. Следовательно,
из
в
должно идти ребро, помеченное символами
0 и 2 (см. рис. 3.7).
Р
Рис. 3.7
Рис. 3.8
Задача
4.Автомат, у которогозадан каноническими уравнениями
Построить диаграмму Мура этого автомата.
Р
Рис. 3.9Тогда
и
Следовательно, на диаграмме Мура из
кружочка, обозначающего состояние 0, в
этот же кружочек должна идти стрелка,
помеченная символами 0, 0. Пусть теперь,
скажем,
,
Тогда
и
.
Значит, из кружочка с номером 2 в кружочек
с номером 0 идёт стрелка, помеченная
символами 0, 0. Рассматривая ана-логичным
образом остальные случаи, получим
диаграмму Мура (см. рис. 3.9).
Задачи для самостоятельного решения
1.
Автомат
задан каноническими уравнениями
гдеПостроить диаграмму Мура автомата
2.
Автомат
таков, что
3
Рис. 3.10.
Ответы
1
Табл. 3.4
Рис. 3.11
3. §3.3. Продолжение функций и
Пусть
конечный алфавит. Обозначим через
множество всех слов
Число
называетсядлинойслова
и обозначается
Например, если
то
Слово, в котором нет ни одной буквы,
будем называтьпустым словоми обозначать символом
Очевидно,
Пусть
множество всех слов длины
а
множество всех непустых слов. Полагаем
.
Очевидно,
Произведениемдвух словназывается слово, полученное приписыванием
к слову
справа слова
Таким образом, если
то
Нетрудно проверить, что произведение
слов ассоциативно, т.е.
для любых
Вообще, произведение слов
не зависит от расстановки скобок (но
зависит от порядка сомножителей). В
частности,
Произведение
слов некоммутативно, так как в общем
случае
Множество,
на котором задана ассоциативная операция,
называется полугруппой.
Полугруппав которой естьединица, т.е. такой
элементе, что
для всех
называетсямоноидом. Множества
и
являются полугруппами. Кроме того,
моноид (так как
для всех
то пустое слово
является единицей). Полугруппа
моноидом не является. Действительно,
если
при некоторых
,
то
,
откуда
,
что невозможно, так как
.
Функции
и
можно продолжить до функций
и
следующим образом. Положим
при
при
при
при
Функция
несёт информацию о том, в какое состояние
перейдёт автомат, если на его вход будут
поступать последовательно несколько
букв из алфавита
Действительно, если в какой-либо момент
автомат находится в состоянии
а на его вход поступают буквы
то будут осуществляться следующие
переходы в другие состояния:
т.е.
в конце концов автомат окажется в
состоянии
Аналогичным образом интерпретируется
функция
А именно,
где
буква, которая будет выдана автоматом
на
-м
шаге.