Глава 2. Графы §2.1. Основные определения

Пусть V– произвольное множество,V²– множество всех его двухэлементных подмножеств, т.е. множество неупорядоченных пар {а,b}, гдеа,b V. Пара (V,E), гдеЕ– произвольное подмножествоV², называетсяграфом(неориентированным графом). При этом элементы множестваVназываютсявершинами графа, элементы множестваE–ребрами. Множества вершин и ребер графаGобозначаются символамиV(G) иE(G) соответственно. Вершины и ребра графа называются егоэлементами.

В дальнейшем рассматриваются только конечныеграфы, т.е. множествоEпредполагается конечным. Число | V(G) | вершин называется его порядкоми обозначается через |G|. Если |G| =п, |E(G)| =т, тоGназывают (п,т)-графом.

Говорят, что две вершины uиv смежны, если множество {u,v} является ребром, ине смежны в противном случае. Еслие = {u,v} – ребро, то вершиныu иv называют егоконцами. В этом случае также говорят, что реброесоединяетвершиныu иv. Такое ребро обозначается символомuv .

Два ребра называются смежными, если они имеют общий конец.

Вершина еи ребро v называютсяинцидентными, еслиv является концом ребрае, ине инцидентнымив противном случае.

Г

Рис. 2.1 Рис. 2.2 Рис. 2.3

рафы удобно изображать в виде рисунков, состоящих из точек и линий, соединяющих некоторые из этих точек. При этом точки соответствуют вершинам графа, а соединяющие пары точек линии – ребрам. В качестве иллюстрации рассмотрим граф G, изображенный на рис. 2.1.

Это (5, 6)-граф, V(G) = {1, 2, 3, 4, 5},E(G) = {{1, 2}, {1, 5}, {2,3}, {2, 4}, {2, 5}, {4, 5}}. Вершины 1и 2 смежны, а 1 и 3 не смежны. Вершина 1 и ребро {1, 2} инцидентны.

И

Рис. 2.4

ногда в графах допускается наличие петель, т.е. ребер {а,а} (рис. 2.2), и кратных ребер, т.е. ребро {а,b} учитывается несколько раз (рис. 2.3). Мы будем рассматривать графы без петель и кратных ребер.

Ориентированный граф – это пара (V,А), гдеV– множество вершин,А – множествоориентированных ребер (илидуг), т.е. упорядоченных пар (u,v), гдеu,vV. При этоми называетсяначаломдуги,v – концом.На рисунке дуги отмечаются стрелками, указывающими направление от начала к концу (рис. 2.4).

Графы специального вида

Приведем примеры некоторых графов специального вида.

Г

Рис. 2.5

рафG называетсяполным, если любые две его вершины смежны, т.е.E(G) = (V(G))⁽²⁾. Полный граф порядкапобозначается символомК_п, в нем ребер. На рис. 2.5 изображены графыК_п,.

Граф называется пустым, если в нем нет ребер. Пустой граф порядкап обозначаетсяО_п.

Красивыми примерами являются графы пяти платоновых тел (т.е. правильных многогранников):тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра (рис. 2.6).

Ниже неоднократно используются термины “разбиение” и “покрытие”. Набор подмножеств множества SназываетсяпокрытиеммножестваS, если объединение этих множеств совпадает сS. Покрытие называетсяразбиением, если никакие два из входящих в него множеств не пересекаются.

Г

Рис. 2.6

раф называетсядвудольным, если существует такое разбиение множества его вершин на две части (доли), что концы каждого ребра принадлежат разным частям. Если при этом любые две вершины, входящие в разные доли, смежны, то граф называетсяполным двудольным.Полный двудольный граф, доли которого состоят изpи изq вершин обозначается символомприр= 1 получаем звезду. На рис. 2.7 изображены звездаи полный двудольный граф.

З

Рис. 2.7

аметим, что одна из долей двудольного графа может быть пустой. Так,О₁– двудольный граф с одной пустой долей,О₂можно трактовать как двудольный граф с двумя одновершинными долями или как двудольный граф, одна из долей которого содержит две вершины, а другая является пустым множеством.