
Глава 2. Графы §2.1. Основные определения
Пусть V– произвольное множество,V2– множество всех его двухэлементных подмножеств, т.е. множество неупорядоченных пар {а,b}, гдеа,b V. Пара (V,E), гдеЕ– произвольное подмножествоV2, называетсяграфом(неориентированным графом). При этом элементы множестваVназываютсявершинами графа, элементы множестваE–ребрами. Множества вершин и ребер графаGобозначаются символамиV(G) иE(G) соответственно. Вершины и ребра графа называются егоэлементами.
В дальнейшем рассматриваются только конечныеграфы, т.е. множествоEпредполагается конечным. Число | V(G) | вершин называется его порядкоми обозначается через |G|. Если |G| =п, |E(G)| =т, тоGназывают (п,т)-графом.
Говорят, что две вершины uиv смежны, если множество {u,v} является ребром, ине смежны в противном случае. Еслие = {u,v} – ребро, то вершиныu иv называют егоконцами. В этом случае также говорят, что реброесоединяетвершиныu иv. Такое ребро обозначается символомuv .
Два ребра называются смежными, если они имеют общий конец.
Вершина еи ребро v называютсяинцидентными, еслиv является концом ребрае, ине инцидентнымив противном случае.
Г
Рис. 2.1
Рис. 2.2 Рис. 2.3
Это (5, 6)-граф, V(G) = {1, 2, 3, 4, 5},E(G) = {{1, 2}, {1, 5}, {2,3}, {2, 4}, {2, 5}, {4, 5}}. Вершины 1и 2 смежны, а 1 и 3 не смежны. Вершина 1 и ребро {1, 2} инцидентны.
И
Рис. 2.4
Ориентированный граф – это пара (V,А), гдеV– множество вершин,А – множествоориентированных ребер (илидуг), т.е. упорядоченных пар (u,v), гдеu,vV. При этоми называетсяначаломдуги,v – концом.На рисунке дуги отмечаются стрелками, указывающими направление от начала к концу (рис. 2.4).
Графы специального вида
Приведем примеры некоторых графов специального вида.
Г
Рис. 2.5ребер. На рис. 2.5 изображены графыКп,
.
Граф называется пустым, если в нем нет ребер. Пустой граф порядкап обозначаетсяОп.
Красивыми примерами являются графы пяти платоновых тел (т.е. правильных многогранников):тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра (рис. 2.6).
Ниже неоднократно используются термины “разбиение” и “покрытие”. Набор подмножеств множества SназываетсяпокрытиеммножестваS, если объединение этих множеств совпадает сS. Покрытие называетсяразбиением, если никакие два из входящих в него множеств не пересекаются.
Г
Рис. 2.6прир= 1 получаем звезду
.
На рис. 2.7 изображены звезда
и полный двудольный граф
.
З
Рис. 2.7