Задачи для самостоятельного решения
Доказать, что число ребер в полном графе Кппорядкаправно
.Найти |V(Bn)|, |E(Bn)|, гдеBn–п-мерный куб.
Найти количество неизоморфных графов, имеющих 7 вершин и 20 ребер.
Найти количество неизоморфных графов, имеющих 10 вершин и 43 ребра.
Найти все попарно неизоморфные графы пятого порядка.
Найти число помеченных графов, имеющих пвершин итребер.
Доказать, что если порядок самодополнительного графа равен п, топ 0 (mod 4) илип 1 (mod 4).
Найти самодополнительный граф с минимальным, отличным от 1 числом вершин.
И
Рис. 2.17
зобразить граф, являющийся дополнением графаG(рис. 2.17).Доказать, что не существует графа, степени всех вершин которого попарно различны.
Существует ли граф со следующим набором степеней вершин:
а)1, 1, 1, 3, 3, 4, 4;
б)1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4?
Определяется ли граф однозначно набором степеней вершин?
Построить граф с данным набором степеней вершин:
а)1, 1, 2, 2, 2;
б) 1, 2, 2, 2, 3, 4.
Доказать, что в любом графе число вершин нечетной степени четно.
Существует ли граф с шестью вершинами, у которого степени всех вершин равны 3?
Доказать, что любой путь, соединяющий вершины uиv, содержит простую цепь, соединяющую те же вершины.
Сколько существует путей длины 3 из вершины (0, 0, 0) в (1, 1, 1) в графе В3?
Доказать, что в двух простых цепях максимальной длины связного графа совпадают средние вершины, если
–
четное, и одна из двух средних вершин
одной цепи совпадает с одной из двух
средних вершин другой цепи, если
–
нечетное.Привести пример цикла, не являющегося простым.
Доказать, что всякий цикл содержит простой цикл.
Доказать, что объединение двух несовпадающих простых (u,v)-цепей содержит простой цикл.
Пусть СиD– два несовпадающих простых цикла, имеющих общее реброе. Доказать, что граф (СD)\e содержит простой цикл.
Показать, что расстояние между вершинами графа удовлетворяет аксиомам метрики.
Доказать, что если (G)(п– 1)/2, то графGсвязен.
Построить граф, центр которого
а) состоит ровно из одной вершины;
б) состоит ровно из трех вершин и не совпадает с множеством всех вершин;
в) совпадает с множеством всех вершин.
Доказать, что диаметр графа не превосходит его удвоенного радиуса.
Привести пример графа, диаметр и радиус которого равны.
Найти расстояние d(u,v) в графе, изображенном на рис. 2.18.
Какие из пар графов на рис. 2.19 изоморфны?
Докажите, что отношение изоморфизма графов является отношением эквивалентности.
Рис. 2.19
Рис. 2.18
Ответы
1. Указание.Степень каждой вершины равнап– 1. Сумма степеней вершин равна удвоенному числу ребер.2.|V(Bn)| = 2п, |E(Bn)| =п2п – 1.
3. 1.Указание:посчитать, сколько ребер удалено из полного графа.
4. 2. 5. Указание:рассмотреть возможные наборы степеней вершин.
6.
.Указание:рассмотреть полный граф
и выяснить, скольким способами можно
выбрать из него те ребра, которые остаются
в искомом.7.
Указание:удвоенная сумма числа ребер
графа равна числу ребер полного графа.8.Указание:рассмотрев наборы степеней
вершин, доказать, что среди графов
порядка 4 самодополнительных нет и
построить граф порядка 5.10.
Указание:предположить обратное для
графа сп вершинами и доказать, что
у одной вершины должна быть степеньп.
11. а)
Нет; б) Да. Не определяется.Указание:рассмотреть сумму степеней вершин.13.
Указание:рассмотреть сумму степеней
вершин.14.
Существует.15.
Указание:если в путь входит одна и
та же вершина, участок пути, заключенный
между ее первым вхождением и последним,
можно удалить.16.
6.
17. Указание:предположить, что не совпадают и построить цепь большей длины.
19. Указание:если в цикл входит одна и та же вершина, участок цикла, заключенный между ее первым вхождением и последним, можно удалить.
20. Указание:доказать, что объединение этих цепей является циклом.21. Указание:доказать, что (СD)\e является циклом.
23. Указание:найти сумму степеней вершин.
25. Указание:предположить противное и найти вершины, расстояние между которыми превосходит диаметр. 27. 3.28.а), б), г).