![](/user_photo/528_5NJmi.jpg)
Литература / Прокофьевская книга по дискретке / glava1-6
.DOC§1.7. Схемы из функциональных элементов
К
а) б)
Рис. 1.7,
то любую булеву функцию можно выразить
формулой через функции полной системы
и реализовать ее с помощью соответствующих
ФЭ.
Логическая
схема
,
выходные сигналы
которой описываются системой булевых
функций
,
где
входные сигналы логической схемы (
,
),
называется схемой из функциональных
элементов (СФЭ).
Теорема. Для того, чтобы для произвольной системы
существовала
схема
из ФЭ с
входами
и
выходами
необходимо и достаточно, чтобы набор
ФЭ соответствовал полной системе
функций.
Обычно
для построения схем используются базис
(этот базис называется стандартным
или булевым) или
(базис Жегалкина).
Обозначим
через
функционал, равный числу элементов в
схеме
,
означающий сложность схемы.
Проблема синтеза – построить схему с минимальной сложностью.
Решение типовых примеров
1
Рис. 1.8
Решение.
Имеем:
Отсюда
2. Построить схему, реализующую функцию
Решение.
Положим
Схема, реализующая функцию, выглядит
так:
Рис. 1.9
3
Рис. 1.9
Рис. 1.10
Решение.
Требуется построить схему с меньшим
числом функциональных элементов,
реализующую ту же функцию
Для этого выразим
формулой и упростим формулу. Имеем:
Рис. 1.11
Следовательно,
функция
может быть реализована схемой из 2
функциональных элементов (рис. 1.11).
Задачи для самостоятельного решения
1
Рис. 1.12
2.
Представить схемой функцию
3
Рис. 1.13
Ответы
1
Рис. 1.14
(выражение не упрощено). 2.
Схема изображена на рис. 1.14.
3. Схема изображена на рис. 1.15.
Рис. 1.15
§1.8.
Функции
-значной
логики
Рассмотрим
множество
.
Функция
называется функцией
-значной
логики от
переменных.
Для
задания функции
достаточно указать ее значения на каждом
наборе переменных из
.
Табл. 1.12
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имея
в виду стандартное расположение наборов
(в соответствии с увеличением их номера),
наборы представляют собой разложения
в
-ичной
системе счисления чисел
.
Обозначим
через
множество всех функций
-значной
логики от
переменных, а
множество всех функций
-значной
логики.
Аналогично
тому, как поступали при подсчете числа
булевых функций, зависящих от
переменных, можно доказать следующую
теорему.
Теорема.
.
Замечание.
Видно, что, в отличие от булевой
алгебры, в
при
существенно возрастают сложности в
эффективном использовании табличного
задания функций. Так, уже в простейшем
случае
.
В
часто используют вместо табличного
задания функций задание при помощи
алгоритма вычислимости функций. Например,
.
Вводя
(по аналогии с
)
понятие существенной и фиктивной
переменной, а также понятие равенства
функций, можно рассматривать все функции
с точностью до фиктивной переменной.
Рассмотрим
примеры некоторых считаемых элементарными
функций
.
1)
– константы.
2)
,
где
представляет собой обобщение отрицания
в смысле “циклического” сдвига значений
– отрицание Поста.
3)
,
где
(часто обозначают
)
представляет собой обобщение отрицания
в смысле “зеркального” отображения
значений, – отрицание Лукашевича.
4)
– характеристическая функция
(первого рода) числа
.
5)
– характеристическая функция
(второго рода) числа
.
6)
– обобщение конъюнкции (другие
обозначения:
,
)
– минимум
и
.
7)
– другое обобщение конъюнкции –
произведение
и
по модулю
.
8)
– обобщение дизъюнкции (другое
обозначение:
)
– максимум
и
.
9)
– сумма
и
по модулю
.
10)
– усеченная разность.
11)
– разность
и
по модулю
(функция Вебба).
12)
– импликация.
Следующие равенства вводятся по определению.
По
аналогии с булевой алгеброй в
-значной
логике:
-
вводится понятие формулы над множеством функций
;
-
каждой формуле
ставится в соответствие функция
и говорится, что формула
реализует функцию
;
-
формулы
и
считаются эквивалентными, если соответствующие им функции
и
равны.
Обратим внимание на то, что
-
в
-значной логике сохраняются многие свойства и результаты, которые имеют место в двузначной логике;
-
в
-значной логике при
имеются принципиальные отличия от алгебры логики.
Так, имеют место равенства:
1. Коммутативность
,
где
.
2. Ассоциативность
,
где
.
3. Дистрибутивность умножения относительно сложения
.
4. Дистрибутивность
операции
относительно операции
.
5. Дистрибутивность
операции
относительно операции
.
6. Идемпотентность
операций
и
.
7. Аналоги правил
де Моргана в
.
Следующее важное тождество, доказываемое непосредственной проверкой, представляет собой аналог СДНФ
.
Приведем
примеры отличия
-значной
логики (при
)
от двузначной:
1. При
,
но
при всех
;
2.
,
но
Класс
функций
из
называется (функционально)
полным, если любая функция из
может быть представлена в виде формулы
над
.
Пример.
Система
полная.
Теорема. Система функций
является
полной в
.
Доказательство.
Пусть
–
произвольная функция
.
Для нее имеет место разложение
.
Данная
формула (правая часть) построена из
функций, входящих в систему
.
Такое представление функции
называется первой формой.
Для
функций из
справедливо
еще одно представление, называемое
второй формой
.
Если
простое число, то, как и в случае двузначной
логики, каждая функция представима, и
притом единственным образом, в виде
полинома Жегалкина
где
а операции сложения и умножения
производятся по модулю
символ
понимается в обычном смысле:
Наконец,
если
где
простое число, то можно установить
взаимно однозначное соответствие между
множеством
и полем
(из
элементов). Отождествим соответствующие
элементы множеств
и
т.е. будем считать, что на множестве
заданы операции сложения и умножения,
превращающие это множество в поле из
элементов (эти операции не следует
путать со сложением и умножением по
модулю
,
ведь кольцо
не является полем). Теперь мы можем
представлять функции в виде полиномов
Жегалкина
где
а операции такие, как в поле
.
Пример. Представим функцию 3-значной логики
в СДНФ и в виде полинома Жегалкина.
Решение. Составим таблицу значений функции:
Табл. 1.13
-
0
0
0
0
1
0
0
2
0
1
0
1
1
1
0
1
2
0
2
0
2
2
1
2
2
2
0
Рассматривая
только те строки таблицы, где
,
получаем:
Полином
Жегалкина имеет вид
.
Запишем это выражение в матричной форме:
Подставляя
значения
и используя таблицу, получим:
.
Решая это матричное уравнение, будем иметь
.
Это
означает, что
Задачи для самостоятельного решения
1.
Представить функцию
трёхзначной логики в виде полинома
Жегалкина.
2. Представить функцию