![](/user_photo/528_5NJmi.jpg)
§1.3. Реализация булевых функций формулами
Функция
называетсясуперпозициейбулевых
функций
,
если она получается некоторой подстановкой
этих булевых функций друг в друга.
Выражение, описывающее результат этой
подстановки, называетсяформулой,
задающей функцию
.
Пусть
и
– две формулы. Говорят, что формулы
и
имеютодинаковое строение, если
формула
может быть получена из формулы
заменой каждого функционального символа
на символ
.
Пусть
.Формулой над
является всякое (и только такое) выражение
вида:
(1)
– любая переменная из множества
(2)
где
и
ранее построенные формулы над
.
Обычно
принимаются следующие соглашения для
сокращения записи формул над множеством
связок
:
а) внешние скобки у формул опускаются;
б)
формула
записывается в виде
;
в)
формула
записывается в виде
или
;
г)
считается, что связка
сильнее любой двухместной связки из
множества
;
д)
связка & считается сильнее любой
другой двухместной связки из множества
.
На
множестве переменных
введем функцию
.
О
формуле
,
задающей функцию
,
говорят также, что формула
реализует функцию
.
Две формулы
и
эквивалентны(
),
если реализуемые ими функции
и
равны.
В эквивалентности формул часто можно убедиться, построив таблицы соответствующих им функций.
Пример.Построив таблицы функций, выяснить эквивалентны ли формулы
и
.
Решение.Построим векторы значений функцийи
.
Табл. 1.7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Из
таблицы 1.7 видно, что
.
Следовательно, формулы
и
эквиваленты.
Основные свойства элементарных функций
1.
Коммутативность:
,
где
.
2.
Ассоциативность:
,
где
.
3. Дистрибутивность
,
,
.
4. Законы де Моргана:
а)
;
б)
.
5.
Закон двойного отрицания
.
Для упрощения формул часто используются тождества:
6. Законы
поглощения: а)
;
б)
.
7.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
8.
а)
;
б)
.
9.
а)
(склеивание);
б)
(обобщенное склеивание); и т.д.
Для проверки всех приведенных равенств достаточно воспользоваться таблицей истинности.
Функция
называетсядвойственной к функции
.
Табл. 1.8
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
![](/html/528/114/html_nnXf7H9diW.3Ymy/img-26gtc3.png)
Из определения двойственности следует, что
,
т.е.
функция
является двойственной к
(свойство взаимности).
Функция
называетсясамодвойственной,
если
.
Например, самодвойственными являются
функции
и
.
Обозначим
через
все различные символы переменных,
встречающихся в множествах
.
Теорема. Если
,
то
.
Доказательство.
.
Следствие.(Принцип двойственности.) Если
формулареализует функцию
,
то формула
реализует функцию
.
Эту формулу называютформулой,
двойственнойк
,
и обозначают
.