
Задачи для самостоятельного решения
1.
Построив таблицы соответствующих
функций, выяснить, эквивалентны ли
формулы
и
:
а)
и
;
б)
и
;
в)
и
;
г)
и
.
2. Построив таблицы соответствующих функций, убедиться в справедливости следующих равенств:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
3.
Используя свойства элементарных функций,
доказать эквивалентность формул
и
:
а)
и
;
б)
и
;
в)
и
.
4. Найти пары двойственных функций и все самодвойственные функции в множестве:
а)
,
;
б).
5.
Доказать, что
является двойственной к
:
а)
,
;
б)
,
;
в)
и
.
6.
Функция
называетсясимметрической, если
,
где
произвольная перестановка чисел
.
Определить число симметрических функций
от
переменных.
Ответы
1.
а), б),
в), да;г)нет.4. а)
пары двойственных:,
,
;
самодвойственных функций нет; б)
,
,
,
. 6.
§1.4. Специальные представления булевых функций Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нормальные формы
Ведем
обозначение
Выражение
,
где
какой-либо двоичный набор, причем среди
переменных
могут быть совпадающие, называетсяэлементарной конъюнкцией.
Выражения вида
называютбуквами. Число букв в
элементарной конъюнкции называютрангомэлементарной конъюнкции.
Элементарная конъюнкция
– правильная, если в нее каждая переменная входит не более одного раза (включая и отрицание переменной);
– полная
относительно переменных,
если в нее каждая переменная (или ее
отрицание) входит ровно один раз;
– монотонная, если она не содержит отрицаний переменных.
Формула
вида
,
где
попарно различные элементарные
конъюнкции, называетсядизъюнктивной
нормальной формой(сокращенно ДНФ).
Число
называется длиной ДНФ.
Теорема.Каждую булеву функциюпри любом
(
)
можно представить в виде
(*)
Это
представление называется разложением
функции по переменным.
Доказательство.Заметим, чтоДалее рассмотрим произвольный набор
и покажем, что левая и правая часть
формулы (
)
принимают на нем одно и то же значение.
Левая
часть дает
,
а правая
Следствие
1.Разложение по переменной
.
Пусть
.
Тогда
Следствие
2.Разложение по всем переменным.
Пусть.
Тогда
При
получаем выражение
т.е.
Разложение (**) носит название совершенной дизъюнктивной нормальной формы(СДНФ).
Замечания
1.Поскольку существует взаимно
однозначное соответствие между таблицей
истинностии СДНФ функции
,
то СДНФ функции единственна.
2.Единственная функция, не имеющая СДНФ, – константа 0.
3.Длина СДНФ функцииравна числу наборов, на которых функция
принимает значение, равное 1.
Пример.Построить СДНФ функций:
а)
;
б)
.
Табл. 1.9
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |




Табл. 1.10
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |


Замечание.По данной ДНФ функцииможно построить ее СДНФ. Для этого
достаточно «пополнить» каждую конъюнкцию
недостающими буквами
,
применяя соотношение
,
а затем устранить повторения, применив
эквивалентность
.
Теорема.Каждая функция алгебры логики может быть выражена в виде отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.
Доказательство.
Пусть,
тогда
.
Если
,
то выразим ее в виде СДНФ
Следовательно,
в обоих случаях функция
выражается в виде формулы через отрицание,
конъюнкцию и дизъюнкцию.
Выражение
,
где
какой-либо двоичный набор, причем среди
переменных
могут быть совпадающие, называетсяэлементарной дизъюнкцией.
Элементарная дизъюнкция
– правильная, если в нее каждая переменная входит не более одного раза (включая и отрицание переменной);
– полная
относительно переменных,
если в нее каждая переменная (или ее
отрицание) входит ровно один раз.
Формула
вида
,
где
попарно различные элементарные
дизъюнкции, называетсяконъюнктивной
нормальной формой(сокращенно КНФ).
Число
называетсядлинойКНФ.
В
соответствии с принципом двойственности
для функции можно получить следующее
выражение для
:
Для
доказательства этого рассмотрим функцию,
двойственную к функции
.
В соответствии с формулой (*) для нее
получим:
Из тождества для двойственных формул получим
Поскольку
и
,
то получаем формулу (***).
Для
и
получаем выражение
которое носит название совершенной конъюнктивной нормальной формы (СКНФ).
Замечания: 1.СКНФ функции единственна.
2.Единственная функция, не имеющая СКНФ, – константа 1.
3.Длина СКНФ функцииравна числу наборов, на которых функция
принимает значение, равное 0.
Пример.Построить
СДНФ функции.
Решение.Исходя из таблицы 1.9, получим, чтона одном наборе
.
Поэтому
Замечание.По данной КНФ функцииможно построить СКНФ функции. Для этого
достаточно «пополнить» каждую из
дизъюнкций недостающими буквами
,
применяя соотношение
,
а затем устранить повторения с помощью
эквивалентности
.