
§1.2. Функции алгебры логики
Прямым
(или декартовым)произведением
множеств(обозначается
)
называется множество всех векторов
таких, что
для
.
Если
все множества
совпадают и равны
,
то используют обозначение
.
Основные понятия и факты, связанные с булевым кубом
В
дальнейшем в качестве множества
будет использоваться множество
.
Набор
,
где
,
называетсябулевымилидвоичным
набором(вектором). Элементы
набора называюткомпонентамииликоординатами. Число
называютдлиной набора. Кратко
обозначают
или
.Весом (илинормой)набора
называют число его координат, равных
1, т.е.
.
Число
называютномером набора
.
Замечание.Наборесть разложение числа
в двоичной системе и находится следующим
образом: а) делим
на 2, остаток есть
частное
;
б) делим
на 2, остаток есть
частное
;
и т. д. до тех пор пока не получим частное,
равное 0.
Множество
всех булевых векторов
длины
называется
-мерным
кубом(
).
Сами векторы называютсявершинами
-мерного
куба.
Кроме
обозначения
для
-мерного
куба используют обозначение
,
а наборы
называют вершинами куба
.
Г
Рис. 1.1
Пусть
фиксированный
набор чисел из 0 и 1 (
).
Множество всех вершин
куба
таких, что
,
называется
-мерной
гранью.
Замечание.
-мерная
грань является
-мерным
подкубом куба
.
Расстоянием(Хемминга) между вершинамии
куба
называется число
(т.е. число координат, в которых наборы
и
отличаются друг от друга).
Вершины
и
куба
–соседние, если
,
ипротивоположные; если
.
Говорят,
что набор
предшествует набору
(обозначают
),
если
для всех
.
Если
и
,
то говорят, что набор
строго предшествуетнабору
и обозначают
.
Наборы
и
называютсравнимыми, если либо
либо
.
Функция
такая, что
,
называетсябулевойфункцией
(илифункцией алгебры логики)
от
переменных.
Замечание. Булевы функции являются удобными для описания, анализа и синтеза переключательных схем, выходные сигналы которых характеризуются лишь двумя уровнями напряжения: высоким (1) и низким (0). Поэтому в практических приложениях их еще называютпереключательными.
Для
задания булевой функции
требуется указать ее значения на каждом
наборе
.
При
функцию
можно задать таблицей
(табл. 1.1), называемойтаблицей
истинностифункции, в которой наборы
выписываются в порядке возрастания их
номеров (сверху вниз).
Табл. 1.1.
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
1 |
1 |
|
0 |
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
При
стандартном расположении наборов (в
соответствии с увеличением их номера),
функцию
можно задаватьвектором ее значений
(или
),
где координата
равна значению функции
в
-ой
строке таблицы (
),
т.е. на наборе
.
При этом значение переменной
-ой
строке таблицы есть компонента
набора
,
которая определяются как соответствующая
-я
цифра в записи числа
.
Обозначим
через
множество всех булевых функций от
переменных, а
множество всех булевых функций.
Теорема..
Доказательство.
Поскольку функциязадается вектором значений
,
где
,
,
то различных булевых функций от
переменных столько же, сколько различных
-разрядных
двоичных векторов, т.е.
.