§1.2. Функции алгебры логики

Прямым (или декартовым)произведением множеств(обозначается) называется множество всех векторовтаких, чтодля.

Если все множества совпадают и равны, то используют обозначение.

Основные понятия и факты, связанные с булевым кубом

В дальнейшем в качестве множества будет использоваться множество.

Набор , где, называетсябулевымилидвоичным набором(вектором). Элементы набора называюткомпонентамииликоординатами. Числоназываютдлиной набора. Краткообозначаютили.Весом (илинормой)набора называют число его координат, равных 1, т.е.. Числоназываютномером набора .

Замечание.Наборесть разложение числав двоичной системе и находится следующим образом: а) делимна 2, остаток естьчастное; б) делимна 2, остаток естьчастное; и т. д. до тех пор пока не получим частное, равное 0.

Множество всех булевых векторов длиныназывается -мерным кубом(). Сами векторы называютсявершинами -мерного куба.

Кроме обозначения для-мерного куба используют обозначение, а наборыназывают вершинами куба.

Г

Рис. 1.1

еометрическая реализация.На рисунке 1.1. изображены проекции 1-мерного, 2-мерного, 3-мерного и 4-мерного кубов на плоскость.

Пусть фиксированный набор чисел из 0 и 1 (). Множество всех вершинкубатаких, что, называется-мерной гранью.

Замечание. -мерная грань является-мерным подкубом куба.

Расстоянием(Хемминга) между вершинамиикубаназывается число(т.е. число координат, в которых наборыиотличаются друг от друга).

Вершины икуба–соседние, если, ипротивоположные; если.

Говорят, что набор предшествует набору(обозначают), еслидля всех. Еслии, то говорят, что наборстрого предшествуетнаборуи обозначают. Наборыиназываютсравнимыми, если либолибо.

Функция такая, что, называетсябулевойфункцией (илифункцией алгебры логики) отпеременных.

Замечание. Булевы функции являются удобными для описания, анализа и синтеза переключательных схем, выходные сигналы которых характеризуются лишь двумя уровнями напряжения: высоким (1) и низким (0). Поэтому в практических приложениях их еще называютпереключательными.

Для задания булевой функции требуется указать ее значения на каждом наборе. Прифункциюможно задать таблицей(табл. 1.1), называемойтаблицей истинностифункции, в которой наборывыписываются в порядке возрастания их номеров (сверху вниз).

Табл. 1.1.

0	0		0	0
0	0		1	1
0	0		1	0
0	1		1	1
1	1		1	1

При стандартном расположении наборов (в соответствии с увеличением их номера), функцию можно задаватьвектором ее значений(или), где координатаравна значению функциив-ой строке таблицы (), т.е. на наборе. При этом значение переменной-ой строке таблицы есть компонентанабора, которая определяются как соответствующая-я цифра в записи числа.

Обозначим через множество всех булевых функций отпеременных, амножество всех булевых функций.

Теорема..

Доказательство. Поскольку функциязадается вектором значений, где,, то различных булевых функций отпеременных столько же, сколько различных-разрядных двоичных векторов, т.е..