Задачи для самостоятельного решения

1. Найти номера следующих двоичных наборов:

а) (1010); б) (1001001);

в) (0011001110); г) ;

д) ;

е) .

2. Найти двоичный набор длины , являющийся разложением числа:

а) ; б);

в) ;;

г) .

3. Для сравнимых наборов множества извыписать их в порядке предшествования (). Выяснить, имеются ли в множествесоседние и противоположные наборы, и, если они имеются, выписать их:

а) {(001), (010), (101), (100), (110), (111)};

б){(00111), (01011), (00110), (10110), (11010), (01010), (11100), (11011)}.

4. Найти:

а) число наборов из, имеющих вес();

б) число наборов из, удовлетворяющих условию();

в) число упорядоченных пар соседних наборов в ();

г) число упорядоченных пар наборов из, таких, что();

д) число наборов извеса, у которых между любыми единичными компонентами находится не менеенулевых компонент ().

5. Показать, что:

а) два различных набора в , имеющих одинаковый нес, несравнимы;

б) в существуют только два сравнимых противоположных набора;

в) всякое подмножество наборов в , содержащее не менеенаборов, содержит пару несравнимых наборов ();

г) число наборов в , не сравнимых с фиксированным набором, имеющим вес, равно().

6. Найти число функций в , удовлетворяющих условию:

а) на данных наборах значения функции фиксированы, а на остальных произвольные ();

б) на противоположных наборах функция принимает одинаковые значения ();

в) на каждой паре соседних наборов функция принимает противоположные значения ();

г) функция равна 0 не менее чем на половине наборов ().

7. а) На аварийном пульте системы расположены четыре сигнальные лампочки . Система выключается в случае, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий: а) загорелась лампочка, но не загорелась лампочка; б) загорелись лампочкии, но не загорелась лампочка; в) загорелась лампочкаи не горит лампочка. Построить вектор значенийбулевой функции, характеризующей условия выключения системы, т.е.тогда и только тогда, когда справедливо хотя бы одно из условий а), б), в); при этом предполагается, что, если лампочкагорит, и, если лампочкане горит.

б) Четырем членам некоторой комиссии сформулированы следующие условия посещения заседаний (хотя бы одно из них они должны выполнить): а) в заседании не участвует ни, ни, но должен быть; б) в заседании принимают участиеи, но отсутствует; в) на заседании должны присутствоватьи. Обязан ли присутствовать на заседании член, если в нем не участвует?

8. Указать все фиктивные переменные у функции :

а) ;

б) ;

в) .

9. Через обозначим множество всех булевых функций , зависящих от переменныхи притом от каждой из них существенным образом.

а) Выписать все функции множества .

б) Найти число элементов множества .

в) Доказать, что число элементов множества равно.

Ответы

1. а)10;б)73;в)206;г);д);

е).2. а)(110110);б)(11111010000);

в);г)прии; при; при.3. а)(001)(101)(111); (010)(110)}; (101)(111); соседние: (001) и (101), (010) и (110), (101) и (100), (101) и (111), (110) и (111); противоположные (001) и (110), (010) и (101);б)(00110)(00111), (00110)(10110), (01010)(01011)(11011), (01010)(11010)(11011); шесть пар соседних наборов; противоположных наборов нет.4. а) ;б);

в);г).Указание.Любой набор, отстоящий от фиксированного наборана расстоянии, получается изподходящей заменой некоторыхкомпонент на противоположные.д).

6. а);б);в)2;г).

7. а) ;б)Нет.Указание.Предполагая, что, если членприсутствует на заседании, и, если отсутствует, условия задачи с помощью булевой функции можно представить в виде.и. Следовательно,также может не участвовать.

8. а)фиктивные переменныеи;б)фиктивная переменная;

в)фиктивная переменная.9. а) &,,,,,,,,, ;б)218.

31