![](/user_photo/528_5NJmi.jpg)
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти номера следующих двоичных наборов:
а) (1010); б) (1001001);
в)
(0011001110); г)
;
д)
;
е)
.
2.
Найти двоичный набор длины
,
являющийся разложением числа
:
а)
;
б)
;
в)
;
;
г)
.
3.
Для сравнимых наборов множества
из
выписать их в порядке предшествования
(
).
Выяснить, имеются ли в множестве
соседние и противоположные наборы, и,
если они имеются, выписать их:
а)
{(001),
(010), (101), (100), (110), (111)};
б){(00111),
(01011), (00110), (10110), (11010), (01010), (11100), (11011)}.
4. Найти:
а)
число наборов
из
,
имеющих вес
(
);
б)
число наборов
из
,
удовлетворяющих условию
(
);
в)
число упорядоченных пар соседних наборов
в
(
);
г)
число упорядоченных пар
наборов из
,
таких, что
(
);
д)
число наборов
из
веса
,
у которых между любыми единичными
компонентами находится не менее
нулевых компонент (
).
5. Показать, что:
а)
два различных набора в
,
имеющих одинаковый нес, несравнимы;
б)
в
существуют только два сравнимых
противоположных набора;
в)
всякое подмножество наборов в
,
содержащее не менее
наборов, содержит пару несравнимых
наборов (
);
г)
число наборов в
,
не сравнимых с фиксированным набором
,
имеющим вес
,
равно
(
).
6.
Найти число функций в
,
удовлетворяющих условию:
а)
на данных
наборах значения функции фиксированы,
а на остальных произвольные (
);
б)
на противоположных наборах функция
принимает одинаковые значения ();
в)
на каждой паре соседних наборов функция
принимает противоположные значения
();
г)
функция равна 0 не менее чем на половине
наборов ().
7.
а) На аварийном пульте системы расположены
четыре сигнальные лампочки
.
Система выключается в случае, когда
выполняется хотя бы одно из следующих
условий: а) загорелась лампочка
,
но не загорелась лампочка
;
б) загорелись лампочки
и
,
но не загорелась лампочка
;
в) загорелась лампочка
и не горит лампочка
.
Построить вектор значений
булевой функции
,
характеризующей условия выключения
системы, т.е.
тогда и только тогда, когда справедливо
хотя бы одно из условий а), б), в); при этом
предполагается, что
,
если лампочка
горит, и
,
если лампочка
не горит.
б)
Четырем членам
некоторой комиссии сформулированы
следующие условия посещения заседаний
(хотя бы одно из них они должны выполнить):
а) в заседании не участвует ни
,
ни
,
но должен быть
;
б) в заседании принимают участие
и
,
но отсутствует
;
в) на заседании должны присутствовать
и
.
Обязан ли присутствовать на заседании
член
,
если в нем не участвует
?
8.
Указать все фиктивные переменные у
функции
:
а)
;
б)
;
в)
.
9.
Через
обозначим множество всех булевых функций
, зависящих от переменных
и притом от каждой из них существенным
образом.
а)
Выписать все функции множества
.
б)
Найти число элементов множества
.
в)
Доказать, что число элементов множества
равно
.
Ответы
1.
а)10;б)73;в)206;г);д)
;
е).2.
а)(110110);б)(11111010000);
в);г)при
и
;
при
;
при
.3.
а)(001)
(101)
(111);
(010)
(110)};
(101)
(111);
соседние: (001) и (101), (010) и (110), (101) и (100),
(101) и (111), (110) и (111); противоположные (001)
и (110), (010) и (101);б)(00110)
(00111),
(00110)
(10110),
(01010)
(01011)
(11011),
(01010)
(11010)
(11011);
шесть пар соседних наборов; противоположных
наборов нет.4.
а)
;б)
;
в);г)
.Указание.Любой набор, отстоящий от
фиксированного набора
на расстоянии
,
получается из
подходящей заменой некоторых
компонент на противоположные.д)
.
6.
а);б)
;в)2;г)
.
7.
а)
;б)Нет.Указание.Предполагая, что
,
если член
присутствует на заседании, и
,
если отсутствует, условия задачи с
помощью булевой функции можно представить
в виде
.
и
.
Следовательно,
также может не участвовать.
8.
а)фиктивные переменныеи
;б)фиктивная
переменная
;
в)фиктивная переменная.9.
а)
&
,
,
,
,
,
,
,
,
,
;б)218.