Глава 4. Алгоритмы и машины Тьюринга §4.1. О понятии алгоритма. Тезис Чёрча

С алгоритмами решения разных математических задач читатель встречался и раньше. В средней школе давался алгоритм решения квадратного уравнения (который можно схематически представить в виде

П

Рис. 4.1

оддаются алгоритмизации многие задачи на построение циркулем и линейкой, дифференцирование элементарных функций, интегрирование рациональных функций и т.д. Такие примеры можно привести не только в математике, но и во многих других науках. Подалгоритмомпонимается жёсткое правило, следование которому и выполнение всех его предписаний приводит к решению задачи. Конечно, эту фразу нельзя считать определением алгоритма. Возникает необходимость дать точное математическое определение алгоритма. Действительно, если мы хотим работать с понятием алгоритма не на интуитивном уровне, а профессионально, применять математический аппарат, то нужно понятие алгоритма уточнить. Кроме того, для доказательства того, что та или иная задача не имеет алгоритма решения, нужно иметь об алгоритме не расплывчатое представление, а чётко знать, что такое алгоритм. Наконец, с уточнением понятия алгоритма можно будет оценивать его сложность, требуемое для реализации машинное время и т.д.

Попытки формализовать понятие алгоритма привели к созданию машины Тьюринга, как некоего воображаемого устройства, реализующего алгоритм. Будем считать, что алгоритм имеет дело со счётным множеством объектови состоит в выборе одного из них, удовлетворяющего заданным условиям. Таким образом, алгоритм можно отождествить с функцией (вообще говоря, частичной)Напомним, что частичной функцией называется “функция”которая может быть определена не для всех значений аргументов. Множествомы предполагаем счётным, так как на конечном множестве всегда есть алгоритм решения любой математической задачи (например, она может быть решена полным перебором всех возможных вариантов), а для несчётного множества трудно придумать механическое устройство, преобразующее исходные данные и работающее в дискретном режиме времени (современные вычислительные машины, производящие действия над действительными числами, на самом деле оперируют с их машинными приближениями). Яркими примерами, иллюстрирующими эти рассуждения, являютсяалгоритм Евклиданахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, алгоритм умножения чисел “в столбик”, деления “уголком”, вычисленияп-го простого числа и т.д. – все эти задачи решаются на машинах Тьюринга, которым будет посвящён следующий раздел.

Ещё одним шагом в разрабатываемой теории стало появление рекурсивных функций, как функций, формализующих понятие алгоритма и реализующих интуитивное понятие вычислимости. Вскоре было установлено, что множество рекурсивных функций совпадает с множеством функций, вычислимых на машинах Тьюринга. Появлявшиеся затем новые понятия, претендующие на объяснение понятия алгоритма, оказывались эквивалентными функциям, вычислимым на машинах Тьюринга, а значит, и рекурсивным функциям. Итогом развернувшейся дискуссии о том, что такое алгоритм, стало утверждение, называемое сейчас тезисом Чёрча.

Тезис Чёрча. Понятие алгоритма, или вычислимости некоторым механическим устройством, совпадает с понятием вычислимости на машинах Тьюринга (а значит, с понятием рекурсивной функции).

Это утверждение нельзя считать математической теоремой. Это есть некоторый естественнонаучный тезис, принятый большинством исследователей.