§4.2. Машина Тьюринга

Машина Тьюринга так же, как и конечный автомат, является дискретным устройством преобразования информации. Приведём её точное определение, а затем интерпретацию её работы.

Определение. Машиной Тьюринга называется частичное отображение

З

Рис. 4.2

десьобозначает “лево”, “право”. Тот факт, что отображениечастичное, означает, чтоможет быть определено не для всех наборов аргументов. Машина Тьюрингаработает с бесконечной в обе стороны лентой, разбитой на ячейки, в каждой из которых написан

один из символов 0, 1. Считывающая головка машины обозревает в каждый момент времени одну из ячеек и за один такт, сменяющий два последовательных момента времени, может перемещаться влево или вправо. Машина Тьюринга в каждый момент времени находится в одном из состояний а в следующий момент времени переходит в другое состояние или остаётся в том же. Кроме того, машина может изменять символ, стоящий в обозреваемой ячейке. Все эти преобразования – изменение состояния, информация на ленте, направление движения полностью определяются отображениемА именно, еслито в случае, когда машина находится в состоянииа на обозреваемой в данный момент ячейке написан символмашина должна записать в эту ячейкувместоперейти в состояниеи сдвинуться на одну ячейкувлево. В случае, когдате же действия будут сопровождаться сдвигомвправо. Например, равенствоозначает, что, находясь в состояниии обозревая ячейку, в которой написан символ 1, машина должна сохранить в этой ячейке символ 1, сдвинуться вправо и перейти в состояниеЕсли жене определено, то машина, находясь в состояниии обозревая ячейку с символомпрекращает свою работу, не изменяя своего состояния, информации на ленте и никуда не сдвигаясь.

Замечания. 1.Существуют различные модификации машины Тьюринга (машина Поста, машина Минского и т.д.). Некоторые модификации предусматривают на ленте не символы 0 или 1, а буквы некоторого конечного алфавитаВ некоторых определениях разрешается не только сдвиг головки машины влево или вправо, но и оставление на прежней позиции. Однако, различные модификации машины Тьюринга эквивалентны между собой в том смысле, что классы функций, вычислимых на этих машинах, совпадают.

2. Понятно, что никакое физическое устройство не может иметь бесконечной ленты. Поэтому лучше мыслить себе ленту машины Тьюринга как потенциально бесконечную, т.е. как конечную, к которой при необходимости можно “подклеивать” с одной и с другой стороны куски сколько угодно раз.

Определение машины Тьюринга, данное в начале раздела, неудобно для использования. Более удобным будет запись программы, которая заключает в себе всю информацию о работе машины (таким образом, задания машины с помощью отображения и с помощью программы эквивалентны между собой). Опишем составление программы. Для каждого равенства видагденомера состояний,направление движения, асимволы на ленте, запишем строкуи назовём еёкомандой. Совокупность всех команд – это и есть программа. Еслине определено, то в программе нет ни одной команды, начинающейся сКроме того, для любыхв программе есть не более одной команды, начинающейся с

Пример. Построим машину Тьюринга, которая, имея на ленте два массива из единиц, разделённые нулями, заполняет эти нули единицами и останавливается у последней единицы второго массива.

Алгоритм действий можно записать словами:

1-й шаг:пройти первый массив единиц, найти массив из нулей, идущий после него и заменить первый нуль единицей;

2-й шаг: идти через массив нулей, заменяя их единицами, до тех пор, пока не появится второй массив единиц;

3-й шаг: пройти второй массив единиц и остановиться в его конце.

Машина Тьюринга, реализующая этот алгоритм, имеет следующую программу:

	1-й шаг
	2-й шаг
	3-й шаг

Ввиду наличия у машины Тьюринга бесконечной ленты её вычислительные возможности значительно превосходят возможности конечного автомата. В частности, так как автомат имеет конечную память, то выходная последовательность его всегда периодическая, если входная периодична (см. п.3.5). В противоположность этому нетрудно придумать машину Тьюринга, которая, начиная работать на пустой ленте(т.е. на ленте, во всех ячейках которой записаны нули), будет формировать последовательность(массивы из единиц имеют длины 1, 2, 3, ...), а эта последовательность периодической не является.

Будем называть в этой главе натуральными числамицелые неотрицательные числа, т.е. разрешим числу 0 называться натуральным числом. Таким образом,множество натуральных чисел. Как на ленте обозначить натуральное числоОдин из способов (и мы будем его использовать) состоит в том, что числокодируется последовательностью изединиц (именноа нечтобы не путать число 0 с отсутствием информации). Такую информацию на ленте будем обозначатьНапример,Упорядоченный наборнатуральных чисел будем кодировать так:Определим теперь, что означаетвычислимостьфункциимашиной Тьюринга

Определение. Машина Тьюрингавычисляет функциюесли для любого наборанатуральных чисел машинанаходясь в состояниии обозревая крайнюю левую единицу востанавливается в том и только том случае, когда значениеопределено, и в конце работы на ленте должно быть записано ...00..., а считывающая головка машины должна стоять напротив крайней левой единицы.

Таким образом, если, например, то мы должны иметь

а если не существует, то машина, запущенная на лентедолжна работать бесконечно долго (при условии, что начальное состояниеа обозреваемая в начальный момент времени ячейка – крайняя левая единица.

Если информация на ленте не имеет вид или начальное состояние неили обозреваемая ячейка – не крайняя левая единица, то поведение машины может быть каким угодно.

Пример. Машина, заданная следующей программой, вычисляет функцию

Машина Тьюринга была придумана Аланом Тьюрингом и описана в его статье в 1936 г. Конечно, она уступает современным вычислительным машинам в удобстве использования для решения конкретных задач. Тем не менее она сыграла большую роль в создании вычислительной техники. К настоящему времени она сохранила своё теоретическое значение для решения вопроса об алгоритмической разрешимости задач.