10. Вынужденные колебания систем с n степенями свободы

Пусть на систему действуют вибрационные силы . Соберем их в общий вектор, где– амплитудные (наибольшие) значения вибрационных сил,θ – их круговая частота.

Тогда уравнение вынужденных колебаний примет вид

.

Его общее решение равняется сумме общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения:

.

Как и в системах с одной степенью свободы, свободные колебания быстро затухают: . Поэтому после установления колебаний они будут совершаться с частотой вибрационной силы:

.

Здесь – вектор амплитуд колебаний масс.

Если учесть, что

и что

,

то уравнение вынужденных колебаний примет вид

. (2)

Из него можно найти вектор амплитуд колебаний:

.

Однако, если частота вибрационной силы θ будет близка к одной из собственных частот , то определитель матрицы в скобках становится близкой к нулю. Это приводит к резкому увеличению амплитуд колебаний масс, т.е. к резонансу. Поэтому в системе сn степенями свободы возможны n резонансных состояний (рис. 17.7).

Рис. 17.7

С целью проверки динамической прочности сооружения определим действующие на систему максимальные силы.

Из соотношения

следует, что амплитудные (максимальные) значения инерционных сил должны изменяться по такому же закону

.

Отсюда

.

Тогда, учитывая что

,

уравнение (2) принимает вид

.

В обычной записи оно является системой n алгебраических уравнений

где

и называется системой канонических уравнений расчета на вибрационную нагрузку. Из него определяются максимальные значения инерционных сил . После этого вычисляются обобщенные силы, действующие на систему, затем максимальные значения внутренних усилий, а по ним проводится проверка прочности.

Порядок расчета на вибрационную нагрузку

Расчет на вибрационную нагрузку обычно состоит из решения трех задач динамики:

1) расчет на собственные колебания – определение частот и форм собственных колебаний из уравнения ;

2) проверка на резонанс по условию ;

3) проверка динамической прочности .

При необходимости решается четвертая задача динамики – проверка динамической жесткости по условию y_i<[y_i].

В о п р о с ы

1. Как определяется интеграл Дюамеля?

2. Что такое динамический коэффициент?

3. Когда возникает резонанс?

4. Что такое спектр частот?

5. Какая нагрузка называется вибрационной?

6. Какие уравнения используются при расчете на вибрационную нагрузку?

7. Каков порядок расчета на вибрационную нагрузку?

Л е к ц и я 18

УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ

1. Введение в устойчивость сооружений

Кроме прочности и жесткости, сооружение обязательно должно быть устойчивым. Это потому, что при потере устойчивости сооружение или разрушается, или становится непригодным для дальнейшей эксплуатации. Например, даже такой простейший элемент как прямолинейный длинный стержень при действии продольной сжимающей силы может резко изогнуться и потерять свою первоначальную прямолинейную форму. В практике строительства и эксплуатации различных сооружений (мостов, высотных зданий и др.) известны случаи их разрушения из-за потери устойчивости.

Устойчивость – это способность сооружения сохранять свое первоначальное положение или форму. Переход устойчивого сооружения в неустойчивое состояние называется потерей устойчивости. Граница перехода в неустойчивое состояние называется критическим состоянием. Сила, приводящая сооружение в критическое состояние, называется критической силой. Критическую силу будем обозначать P_кр.

Ответ на вопрос «устойчиво или неустойчиво сооружение?» является очень важной задачей, потому что для потери устойчивости сооружения, достигшего критического состояния, достаточно и незначительной причины. Если же процесс потери устойчивости начался, он идет очень быстро и приводит к резкому изменению первоначальной формы или разрушению частей или всего сооружения.