8. Учет граничных условий

Разрешающее уравнение МКЭ нельзя сразу решить относительно перемещений u. Причина в том, что при его составлении не учтены граничные условия закрепления сооружения в опорах. Поэтому матрица жесткости K является вырожденной (т.е. ее определитель равняется нулю). Чтобы выйти из положения, вектор перемещений приходится делить на две части – на перемещения по закрепленным (з) и незакрепленным (н) направлениям:

.

Так как опоры сооружения обычно бывают достаточно жесткими, их перемещения можно принять равными нулю (), а нагрузку, приходящуюся на опоры, не учитывать. В таком случае разрешающее уравнение преобразуется в уравнение меньшего размера. Однако такая процедура существенно меняет структуру матрицы жесткостиK и усложняет дальнейшее решение.

Поэтому используется другой прием: все элементы строк и столбцов матрицы жесткости, соответствующие закреплениям, приравниваются нулю, и лишь вместо их диагональных элементов ставятся единицы. В таком случае разрешающее уравнение упрощается без нарушения ее структуры и принимает вид:

.

Здесь E − единичная матрица, и− блоки матрицы жесткости и вектора нагрузки, соответствующие незакрепленным направлениям.

9. Определение перемещений, усилий и напряжений

После решения разрешающего уравнения и определения вектора узловых перемещений u из этого вектора можно выбирать перемещения отдельных КЭов и определять перемещения в интересующих точках любого i-го КЭ по формуле

.

Усилия в узлах и напряжения внутри КЭов вычисляются по формулам

,

.

В конкретных случаях последнюю формулу можно упростить. Например, напряжения ферменного элемента определяются так:

.

10. Порядок расчета мкэ

В настоящее время разработаны вычислительные комплексы, позволяющие рассчитывать на компьютере сложные и разнообразные сооружения на различные воздействия. К таким относятся расчетные комплексы NASTRAN, ANSIS, ЛИРА, СУМРАК и др.

Эти расчетные комплексы рассчитаны на использование мощных компьютеров, разнообразной вспомогательной аппаратуры, сложных компьютерных программ. Они состоят из трех основных частей:

1. Препроцессор – предназначен для подготовки и ввода исходных данных в компьютер. Используется для формирования расчетной модели сооружения (автоматического разбиения на КЭ по задаваемой сетке), определения координат узлов, геометрических и физических характеристик КЭов, проверки правильности и полноты исходных данных. Дает возможность обзора расчетной модели в разных ракурсах на мониторе.

2. Процессор – блок математического расчета МКЭ. Входящие в него компьютерные программы предназначены для: составления и решения разрешающего уравнения; вычисления перемещений и деформаций, внутренних усилий и напряжений; проверки на прочность и жесткость; решения задач динамики и устойчивости.

3. Постпроцессор – предназначен для обработки результатов расчета, представления их в виде эпюр, в удобной для анализа табличной, графической и анимационной формах.

Алгоритм расчета сооружений МКЭ состоит из следующих основных этапов:

1. Выбор расчетной модели.

2. Перенос нагрузки в узлы.

3. Определение матриц жесткостей КЭов.

4. Перевод матриц жесткостей КЭов в общую систему координат.

5. Сборка глобальной матрицы жесткости K.

6. Учет граничных условий.

7. Решение разрешающего уравнения .

8. Вычисление внутренних усилий.

9. Обработка результатов расчета.