8. Колебания систем с n степенями свободы
Рассмотрим невесомую балку с n точечными массами (рис. 17.5 а).
Рис. 17.5
При
изучении только вертикальных колебаний
балки ее можно рассматривать как
колебательную систему с n
динамическими степенями свободы. Если
на массы будут действовать динамические
силы P1=P1(t),
..., Pn=Pn(t),
в них возникнут инерционные силы
,
…,
,
а со стороны балки будут действовать
силы упругостиR1,
..., Rn
и силы сопротивления
,
…,
.
Из условия равновесия сил (рис. 17.2 б) получим
,
где
.
Если силы упругости Ri определить по методу сил и все n уравнений объединить в систему, получим матричное уравнение
,
которое называется уравнением вынужденных колебаний системы со многими степенями свободы в форме метода сил. По виду оно соответствует уравнению колебаний системы с одной степенью свободы. Однако здесь все обозначения матричные: m – матрица масс, δ – матрица податливости, δm=d – динамическая матрица, y – вектор перемещений, P – вектор нагрузки, R* – вектор сил сопротивления:
, 
,
,
,
,
.
9. Собственные колебания систем с n степенями свободы
При P=P*=0 получаем уравнение собственных колебаний
,
которое является системой n дифференциальных уравнений. Его решение ищется в виде суммы n частных решений:
где вектора ai – формы собственных колебаний. Подстановка этого решения в исходное уравнение приводит к алгебраическому уравнению
,
где
–собственное
значение
матрицы d.
Это матричное уравнение в обычной записи представляет собой систему однородных алгебраических уравнений
которая имеет два типа решения:
1) тривиальное решение a1i=a2i=...=ani=0; тогда колебаний не будет;
2) неопределенное решение; для этого определитель системы уравнений должен равняться нулю:
Если раскрыть этот определитель, получим полином n-ной степени относительно :
.
Такой полином имеет n корней , …, n, которые называются собственными значениями динамической матрицы d.
Запишем собственные значения в порядке убывания:
.
Так
как
,
то
.
Поэтому круговые частоты колебаний
расположатся в порядке возрастания:
.
Эта
последовательность
называетсяспектром
частот, а
наименьшая частота
называетсяосновной
частотой.
Таким образом, динамическая система с n степенями свободы имеет n частот собственных колебаний (n собственных частот). Для практических целей наиболее важными являются несколько наименьших, так называемых низших частот собственных колебаний.
Каждой собственной частоте соответствует своя форма собственных колебаний. Для их определения собственные значения i нужно поочередно подставлять в систему алгебраических уравнений. Но во всех случаях определитель системы уравнений будет равняться нулю. Поэтому одно уравнение отбрасывают, а амплитуду одной из масс считают условно определенной (например, можно принять a1=1). Тогда из оставшихся уравнений можно вычислить амплитуды остальных масс.
Формы собственных колебаний динамической системы (рис. 17.6 а) можно представить графически (рис. 17.6 б):
Рис. 17.6