5. Колебания систем с одной степенью свободы
Изучим
колебания невесомой балки (рис. 16.7 а)
с точечной массой m
под действием динамической нагрузки
.
При учете только изгибных деформаций
такую балку можно рассматривать
как колебательную систему с одной
динамической степенью свободы.
Уравнение колебаний массы определяется из условия динамического равновесия сил, действующих на нее (рис. 16.7 б):
J + R + R* – P = 0,
где
–
инерционная
сила; R
–
сила упругости балки; R*
–
сила сопротивления среды движению
массы. Так как при колебаниях система
находится в движении, это уравнение
называется уравнением
движения.
Рис. 16.7
Силу упругости R можно определить двумя способами.
Вначале воспользуемся методом перемещений. Для этого в правом конце балки введем опору и дадим ей перемещение y, возникающее при колебании массы (рис. 16.7 в). Тогда реакция во введенной связи будет равна искомой силе упругости R. Для ее определения рассмотрим единичное состояние системы: введенной опоре дадим смещение y=1 (рис. 16.7 г) и вычислим реакцию (жесткость) r. В данном случае ее можно определить по таблице метода перемещений. Так как балка упругая, то R=ry. Если эту реакцию и силу инерции подставить в предыдущее уравнение, получим уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы в форме метода перемещений:
.
Во
втором случае к концу балки приложим
единичную силу. Она вызовет перемещение
(рис. 16.7 д), называемое податливостью.
По теореме Бетти
.
Значит,r=1/.
Если подставить его в наше уравнение,
затем поделить уравнение на m
и ввести обозначение
,
получим уравнение колебаний системы с
одной степенью свободы в форме метода
сил:
.
6. Собственные колебания
Собственные колебания возникнут при P=0, R*=0. В таком случае уравнение колебаний примет вид
.
Его общее решение будет:
y=A sin t + B cos t .
Если сделать замены A=a cos, B=a sin , получим
y=a sin( t+).
Таким образом, собственные колебания являются гармоническими.
Определим их начальную фазу φ и амплитуду a. Пусть при t=0 известны начальное отклонение y0 и начальная скорость v0. Тогда
y0
=a sin
φ, v0
=
(0)
=aω cos
φ.
Из
них имеем
и
.
Поэтому
,
.
Следовательно,
, 
.
Если вес массы равен G, а ускорение свободного падения g, то G=mg. К тому же, вес G вызывает статический прогиб, определяемый по формуле yст=G. Поэтому имеем
.
Эти формулы позволяют найти частоту из решения статической задачи.
Из полученных формул вытекают следующие выводы:
1) начальная фаза и амплитуда зависят от начальных условий;
2) частота и период собственных колебаний системы не зависят от начальных условий;
3) при увеличении жесткости системы частота собственных колебаний возрастает, а при увеличении массы – уменьшается.
В о п р о с ы
1. Какие основные задачи решает динамика сооружений?
2. Чем отличается динамическая степень свободы от статической?
3. На какие три вида делятся колебания колебательных систем?
4. Какая разница между собственными и свободными колебаниями?
5. Как изменяется частота колебаний при изменении массы?