6. Переход к общей системе координат

Каждый КЭ в МКЭ вначале рассматривается в местной системе координат. Затем осуществляется переход к глобальной (общей) системе координат. Рассмотрим порядок такого перехода.

Пусть некоторый узел i в местной системе координат имеет перемещения,,, которые следует преобразовать в перемещения узла,,в общей системе координатx-y (рис. 15.2 а).

Поворот координатных осей осуществляется с помощью матрицы преобразования координат. Для плоской системы она имеет вид

.

Рис. 15.2

Если координатные системы ортогональны и поворот осуществляется на угол a, то

.

Для шарнирного узла с двумя степенями свободы

. (1)

Эти матрицы позволяют использовать матрицы и вектора геометрических и жесткостных характеристик КЭ, полученных в местной системе координат, для получения соответствующих характеристик КЭ в общей системе координат. Например, преобразование вектора координат прямоугольного КЭ с четырьмя шарнирными узлами i-j-k-m (рис. 15.2 б), рассматриваемого в местной системе координат , в общую систему координатx-y осуществляет матрица

.

Блоки этой матрицы имеют вид (1). Имея матрицу жесткости КЭв местной системе координат, можно определять ее матрицу жесткости в общей системе координат по формуле

_.

7. Объединение конечных элементов

Пусть в расчетной модели сооружения имеется m КЭ и n узлов, а вектора ее перемещений и узловых нагрузок определены так:

,

.

После построения матриц жесткостей всех конечных элементов и определения векторов узловых нагрузокв общей системе координат следует сформировать матрицу жесткости и вектор нагрузки всего сооружения. Это можно проделать так.

Вначале матрицы жесткости всех КЭов собираются в единую диаго-нальную матрицу , а вектора узловых нагрузок − в единый вектор:

,.

Они еще не учитывают связи между соседними конечными элементами в узлах их примыкания.

Для объединения КЭов в единую систему используется энергетический принцип: энергия конечно-элементной модели системы равняется сумме энергий всех ее КЭ. В этом случае матрица жесткости объединенной системы будет определяться по формуле

,

где Г – объединяющая матрица. Элементы этой матрицы состоят только из нулей и единиц, а отдельные ее блоки соответствуют узлам КЭ и строятся по принципу: если КЭ содержит данный узел, то записывается единичная матрица, если нет – нулевая матрица. А соответствующие узловые нагрузки будут объединяться по формуле

.

Однако получение матрицы жесткости K и вектора нагрузки P таким способом требует больших вычислительных затрат. Задача упрощается, если составить так называемую матрицу индексов, определяющую соответствие номеров узловых перемещений КЭов узловым перемещениям всей модели. Тогда матрицу жесткости K можно получать рассылкой в ее блоки отдельных блоков матриц жесткостей КЭов по информации, заключенной в матрице индексов. При этом рассылка идет с суммированием рассылаемого блока матрицы жесткости КЭ с имеющимся блоком в матрице K. Такой метод называется методом сложения жесткостей.

Вектор узловой нагрузки P формируется аналогично.

В результате этих действий формируется разрешающее уравнение МКЭ, по виду совпадающее с уравнением МКЭ для отдельного КЭ:

Ku=P .

Но уже здесь K и P − матрица жесткости и вектор нагрузки всей системы. Матрицу K часто называют глобальной матрицей жесткости.