9.4.3 Импульсные характеристики идеальных цф различного типа

Аналитические описания импульсных характеристик ЦФ различного типа получаются в общем случае путем выполнения обратного преобразования Фурье их идеализированных частотных характеристик ЧХ H_id(jω).

Для идеального цифрового ФНЧ импульсная характеристика определяется выражением:

; ,

n = ±1, ±2, ...

Импульсные характеристики ЦФ типов ФВЧ, ППФ, ПЗФ и МПФ могут быть выражены также через импульсную характеристику цифрового ФНЧ и так называемого всепропускающего фильтра (ВПФ). Для такого идеального фильтра сигнал на выходе совпадает с сигналом на входе:

y(n) = x(n), h_id(0) = 1, h_id(n) = 0 при n ≠ 0;

H_id(jω) = 1 при ‌‌ ‌

Частотные характеристики ФВЧ, ППФ и ПЗФ могут быть выражены через частотные характеристики ФНЧ и ВПФ [2]. Такая же связь справедлива и для импульсных характеристик, что позволяет непосредственно записать соответствующие им аналитические выражения:

Аналогичным образом находятся соотношения и для конкретного МПФ.

9.4.4 Методика синтеза нф методом весовых функций и пример синтеза полосового цифрового фильтра

Подводя итог выше сказанному, приведем общую методику синтеза НФ.

По заданному значению затухания частотной характеристики в полосе задерживания а_з с помощью таблицы 9.3 выбирается тип весовой функции, отвечающей условию , при минимальном значении ширины ее главного лепестка, т.е параметраD. При использовании весовой функции Кайзера по таблице 9.4 находятся соответствующие заданному затуханию а_з параметры данной весовой функции β и D. При этом нужно учитывать, что расчетное значение затухания зависит от вида АЧХ синтезируемого фильтра, его граничных частот и длины весовой функции N и может оказаться как больше, так и меньше оценочного значения а_2max. Чем сложнее АЧХ фильтра (ППФ, ПЗФ, МПФ), тем меньше затухание для одной и той же весовой функции. Это же относится и к неравномерности АЧХ в полосе пропускания.

Для выбранной весовой функции и заданной переходной полосы частотной характеристики фильтра в соответствии с приближенным соотношениемнаходится необходимая длина весовой функции и определяемая ею длина импульсной характеристики фильтра:, гдеD – коэффициент зависящий от типа весовой функции.

Значение N приравнивается ближайшему целому нечетному числу.

С помощью обратного преобразования Фурье:

или приведенных выше аналитических выражений вычисляется смещенная вправо импульсная характеристика ,n = 0, . . ., N – 1, соответствующая заданной частотной характеристике H_p(jω).

При этом в качестве частот среза заданной частотной характеристики используют их расчетные значения f_ср, смещенные в полосу задерживания примерно на половину переходной полосы фильтра Δf_пер. Это связано со свойственным данному методу размыванием границ перехода от полосы пропускания фильтра к полосе задерживания (рис. 9.31).

Например, для ППФ:

;

Находится импульсная характеристика фильтра путем весового усечения смещенной вправо на отсчетов импульсной характеристикиh_p(n):

, n = 0, . . ., N – 1

Рассчитывается АЧХ фильтра и проверяется ее соответствие исходным данным по неравномерности частотной характеристики в полосе пропускания а_п и затуханию в полосе задерживания а_з.

Так как данный метод не обеспечивает точного соответствия исходных и расчетных данных (является итерационным), при необходимости корректируются значения расчетных частот среза ω_с1р, ω_с2р , длины фильтра N и расчеты повторяются.

Выбирается способ реализации НФ (на основе ДВС, ДПФ или частотной выборки) и решаются соответствующие ему задачи реализации.

Следует отметить, что метод весовых функций обеспечивает строгую линейность ФЧХ и постоянство группового времени запаздывания фильтра ввиду четной или нечетной симметрии получаемой этим методом импульсной характеристики h(n).

Далее приводится листинг программы, написанной в среде MathCAD, по синтезу НФ методом весовых функций.

Текст программного модуля синтезирующего цифровой нерекурсивный ППФ методом ВФ

0

Данные для проектирования

fd – частота дискретизации;

–частота полосы пропускания;

–частота полосы заграждения.

1

Определение вспомогательных параметров и нормированных частот

w – нормированная частота АФПНЧ;

ap – неравномерность в полосе пропускания (dB);

as – неравномерность в полосе непропускания (dB);

ap:=1 as:=40.0

2

Положим для примера N:=15

Ниже приводятся характеристики различных окон m:=0,0.001..1

Окно прямоугольное № 1

Окно Бартлетта № 2

Окно Ханна № 3

Окно Хемминга № 4

Окно Блекмена № 5

Окно Кайзера № 6

Окно Карре 2-ое № 7

Окно Лапласа-Гауса № 8

Окно Ланцоша № 9

Окно Чебышева № 10

t:=0..N

Графики выше рассмотренных окон:

AFX windows

Рис. 9.32 Графики окон

AFX windows

Рис. 9.33 Графики окон

AFX windows

Рис. 9.33 Графики окон

Выбираем окно и определяем минимальную длину и коэффициент окна:

В области поля отмеченной цветом следует вписать импульсную характеристику выбранного окна hi (i, N)

Положим, например No: = 310

Расчет Импульсной характеристики фильтра с учетом выбранного окна:

Рис. 9.35 Импульсная характеристика фильтра