9.3.3 Переход от аналогового фильтра прототипа к цифровому фильтру

С помощью обобщенной преобразующей функции (см. формулу (9.15)) передаточную функцию низкочастотного прототипа можно непосредственно трансформировать в передаточную функцию цифрового фильтра. И далее приводя выражение передаточной функции ЦФ к виду, соответствующему выбранной форме реализации ЦФ, можно найти значения коэффициентов звеньев фильтра a_1i, a_2i, b_оi, b_1i, b_2i.

Однако такой путь связан с громоздкими математическими преобразованиями, особенно для ППФ и ПЗФ, порядок которых вдвое больше, чем у аналогового прототипа.

Более удобный путь основан на аналитической связи между коэффициентами ЦФ конкретной формы реализации и его нулями и полюсами, которые, в свою очередь, могут быть найдены через полюсы и нули аналогового фильтра прототипа.

Выражение для расчета полюсов и нулей ЦФ через полюсы и нули аналогового фильтра прототипа сведены в таблице 9.2, [1]:

Таблица 9.2

Тип фильтра	Преобразование	Примечания
ФНЧ	i = 1, 2, …, N.	При ωaоi = ∞ zоi = -1
ФВЧ	i = 1, 2, …, N.	Если ωaоi = ∞ zоi = -1
Тип фильтра	Преобразование	Примечания
ППФ	i = 1, 2, …, N.	Если ωaоi = ∞ zо, 2i-1 = ±1 zо, 2i = ±1
ПЗФ	i = 1, 2, …,N.	Если ωaоi = ∞

Передаточные функции звеньев второго порядка каскадной и параллельной форм реализации получают объединением в пары компексно-сопряженных полюсов фильтра и группированием их в случае каскадной формы с ближайшими по расположению на комплексной плоскости парами нулей.

Число звеньев (L) ЦФ определяется его порядком N: при четном порядке L= , при нечетномL = , но при этом одно звено имеет первый порядок и ему соответствуют вещественные значения нуля и полюса.

Порядок цифровых фильтров ФНЧ и ФВЧ совпадает с порядком аналогового фильтра прототипа, а ППФ и ПЗФ – в два раза больше – 2·N.

Коэффициенты b_оi, b_1i, b_2i, a_1i, a_2i звеньев находятся через нули и полюсы цифрового фильтра с помощью выражений (9.10 – 9.14), а они определяют передаточную функцию ЦФ для выбранной структуры реализации фильтра.

9.3.4 Порядок и пример синтеза цифрового рекурсивного фильтра

В общем виде порядок синтеза РЦФ можно представить так:

• с помощью частотных преобразований (таблица 9.1) по заданным значениям граничных частот ЦФ: ω_с, ω_з (Ω_с, Ω_з) находятся граничные частоты аналогового фильтра прототипа (ω_aс= 1, ω_aз);

• по значениям a_n , a_з , и ω_aз синтезируется фильтр прототип: выбирается тип аппроксимирующей функции, определяется порядок фильтра N и значения его полюсов и нулей: ω_aоi, ω_api, i = 1, 2, … , N;

• по формулам таблицы 9.2 рассчитываются значения полюсов и нулей ЦФ заданного типа: z_оi , z_рi , i = 1, 2, … , N, (здесь N – порядок ЦФ и для ФНЧ, ФВЧ, а для ППФ и ПЗФ 2·N);

• Порядок фильтра равен порядку АФП.

• строится картина расположения нулей и полюсов ЦФ на комплексной плоскости; каждому i-му звену ЦФ ставится в соответствие комплексно-сопряженная или вещественная пара полюсов, а в случае каскадной формы реализаций – ближайшая к ней по расположению пара конечных нулей (i = 1, 2, … , L);

• выбирается форма (структура) реализации РФ и рассчитываются коэффициенты звеньев фильтра a_1i, a_2i, b_оi, b_1i, b_2i по соотношениям рассмотренным выше;

• рассчитывается АЧХ и ФЧХ фильтра и сопоставляются с заданными требованиями.

В случае если синтезированный фильтр не удовлетворяет поставленным требованиям, расчеты повторяются до получения нужного результата.

Ниже приведен пакет программного модуля, написанный в среде MathCAD, по синтезу полосового рекурсивного фильтра, для всех вариантов аппроксимирующих функций рассмотренных ранее.

Исходные данные: полосовой фильтр с полосой пропускания 8400 ÷ 11600 (Гц), полосой задерживания 7600 ÷ 12400 (Гц), неравномерностью в ПП a_n = 1[дБ], затуханием в ПНП a_з = 40[дБ] и частотной дискретизацией f_д = 112000 (Гц).

Текст программного модуля синтезирующего цифровой рекурсивный ППФ

0

Данные для проектирования:

fd – частота дискретизации;

–частота полосы пропускания;

–частота полосы заграждения.

1

w – нормированная частота АФПНЧ;

ap – неравномерность в полосе пропускания (dB);

as – неравномерность в полосе непропускания (dB);

ap:=1 as:=40.0

α – нормирующая константа.

2

Определение вспомогательных параметров и нормированных частот:

3

Максимальная апроксимация

Расчет числа звеньев и определение полюсов и нулей НЧФП:

Рис. 9.10 Определение полюсов и нулей НЧФП

Расчет полюсов и нулей цифрового рекурсивного и определение коэффициентов на их (a_i b_i) основе:

Рис. 9.11 Полюса и нули цифрового рекурсивного фильтра

Расчет АЧХ цифрового фильтра:

Рис. 9.12 АЧХ цифрового фильтра

Рис. 9.13 График затухания цифрового фильтра

Расчет ГВЗ цифрового фильтра:

Рис. 9.14 График затухания цифрового фильтра

4

Чебышевская апрксимация

Расчет числа звеньев и определение полюсов и нулей НЧФП

Рис. 9.15 Полюса фильтра

Расчет полюсов и нулей цифрового рекурсивного:

Рис. 9.16 Полюса и нули фильтра

Расчет АЧХ цифрового фильтра:

Рис. 9.17 АЧХ цифрового фильтра

Рис. 9.18 Затухание цифрового фильтра

Расчет ГВЗ цифрового фильтра:

Рис. 9.19 ГВЗ цифрового фильтра

Инверсия Чебышевская аппроксимация

Определение нулей НЧФП инверсного Чебышева:

Рис. 9.20 Полюса и нули НЧФП

Рис. 9.21 Полюса и нули цифрового фильтра

Расчет АЧХ цифрового фильтра:

Рис. 9.22 АЧХ цифрового фильтра

Рис. 9.23 Затухание цифрового фильтра

Рис. 9.24 ГВЗ цифрового фильтра

5

Эллиптическая аппроксимация

Расчет эллиптических интегралов, эллиптических функций, числа звеньев и определение полюсов и нулей НЧФП :

Рис. 9.25 Полюса и нули

Рис. 9.26 Полюса и нули

Рис. 9.27 График АЧХ

Рис. 9.28 График затухания

Рис. 9.29 ГВЗ цифрового фильтра