6.6.4 Определение переходной и импульсной характеристик

Переходная характеристика Ф(t)

Это есть зависимость выходного сигнала Y(t) от времени при входном сигнале в виде единичной функции:

l(t)=1 при t≥0

l(t)=0 при t<0

Расчет можно вести по следующим формулам, выраженным через действительную Re(ω) и мнимую Im(ω) части коэффициента передачи K(jω).

,

Импульсная характеристика h(t)

Это есть отклик объекта на входное воздействие в виде единичного импульса δ(t):

,

спектральная плотность которого:

_,

и потому:

При этом импульсная характеристика согласно обратному преобразованию Фурье:

h(t) можно найти также по действительной или мнимой части коэффициента передачи K(jω):

,

Ниже следует расчет переходной и импульсной характеристики с помощью пакета программ MathCAD для электрической цепи 2-ого порядка (рассмотренной выше).

Все параметры, K(f) и A(f) получены в разделе 5.3.

Далее используются обозначения:

–действительная часть коэффициента передачи;

–число точек расчета;

–шаг расчета;

–дискретно на один изменяющийся параметр;

–аргумент (дискретное время);

–верхний предел интегрирования;

–нижний предел интегрирования.

Переходная характеристика запишется в виде:

Вопросы для самоконтроля

1. Дать понятие коэффициента передачи линейного устройства

2. Дать понятие амплитудно-частотной характеристики линейного устройства

3. Дать понятие фазо-частотной характеристики линейного устройства

4. Дать понятие переходной характеристики линейного устройства

5. Дать понятие импульсной характеристики линейного устройства

6.7 Методы решения в среде «MathCad» алгебраических и трансцендентных уравнений и организация вычислений по циклу

6.7.1 Определение корней алгеброических уравнений

Пусть требуется решить уравнение с одним неизвестным x:

F(x) = 0 (6.1)

Это означает найти значения x_i, называемые корнями или решениями, удовлетворяющие уравнению (6.1).

Правильность полученного решения можно проверить подстановкой.

Уравнение (6.1) называется алгебраическим уравнением n-ой степени если оно представляет собой многочлен степени n относительно x:

, (6.2)

где коэффициент a_i – действительные или комплексные числа.

Алгебраической уравнение n-ой степени имеет n корней.

Алгебраическое уравнение называется действительным, если все его коэффициенты a_i – действительные числа.

Комплексные корни алгебраического уравнения могут быть только парными, комплексно сопряженными числами.

Уравнение нечетной степени всегда имеет хотя бы один действительный корень.

Аналитические методы решения уравнения (6.2) при n ≥ 3 весьма трудоемки. Компьютерные методы предельно упрощают эту задачу.

Методы решения алгебраических уравнений в среде MathCAD

Возможны 2 способа нахождения корней уравнения (6.2) в среде MathCAD:

• с помощью методов символьной математики согласно правилу 6;

• путем обращения к встроенной функции согласно правилу 2.

Рассмотрим применение обоих методов на конкретных примерах.

Пример

Найти корни кубического уравнения:

(6.3)

Решение по правилу 6:

Открываем рабочий лист и записываем многочлен из уравнения (6.3):

Выделяем (затемняем ■) в этом многочлене в любом члене один символ – переменную x – путем протаскивания курсора.

Открываем меню «Символ», подменю «Переменные» (Variable), щелчок по опции «Вычислить» (Solve).

На рабочем листе появляется результат, записанный в форме вектора:

Решение по правилу 2:

Вновь записываем многочлен из уравнения (6.3):

Выделяем (затемняем ■) в этом многочлене в любом члене один символ переменной х – путем протаскивания курсора.

Записываем вектор коэффициентов многочлена, для чего открываем меню «Символ», щелчок по опции «Коэффициенты» (Polynomial Coefficients).

Перед вектором вставляем его имя V:= . Получаем результат:

Следует отметить, что при отсутствии какого-либо члена, соответствующий ему коэффициент принимается равным 0.

Обращаемся к пиктограмме «Встроенная функция» f(x) на второй строке текстового окна – стандартной линейке.

На появившемся после щелчка диалоговом окне в разделе «Категория функций» выбираем строку с надписью «Решение» (All), а в разделе «Название функции» – polyroots (корни полинома).

После нажатия на кнопку «ок» или «Вставить» на рабочем листе появляется название данной функции.

В скобки вписываем имя вектора коэффициентов V и вводим знак =.

После ввода знака равенства получаем результат в виде вектора:

,

Точность полученного результат устанавливаем путем открытия меню «Формат», подменю «Результат» и выбора требуемого числа десятичных знаков в открывшемся окне.

Проводим проверку полученных результатов.

Для этого последовательно при каждом из полученных значений корня x_i (переносим их методом копирования) вычисляем значение многочлена F(x).

Близость к нулю действительной и мнимой частей F(x) указывает на правильность полученных результатов:

check-up