2. Квантовые распределения

2.1. Некоторые общие теоретические сведения

Количество частиц квантовой системы, находящихся в -том состоянии (число частиц на уровне с энергией ), называют числом заполнения квантового состояния. Если одному энергетическому уровню с энергией ⁴ соответствует несколько различных состояний квантовой системы с отличающимися друг от друга значениями других квантовых чисел, то энергетический уровень называется вырожденным. Если энергетическому уровню соответствует только одно состояние, то энергетический уровень называется невырожденным.

Число различных квантовых состояний, отвечающих энергетическому уровню, то есть кратность вырождения уровня называется в квантовой статистике статистическим весом.

Энергетический спектр макроскопических тел, отвечающий всему огромному количеству частиц системы, можно считать почти непрерывным, так как он содержит огромное (бесконечное) число энергетических уровней, распределенных в конечном интервале энергий. В этом приближении вероятность обнаружения квантовой макросистемы в состоянии с энергией можно считать непрерывной функцией энергии: .В случае непрерывного энергетического спектра статистический вес определяется как число различных состояний системы, приходящихся на интервал значений энергии ⁵.

Рассмотрим систему, которая является подсистемой находящейся в термодинамическом равновесии изолированной (замкнутой) системы. Пусть – число квантовых состояний рассматриваемой системы, приходящихся на бесконечно малый интервал значений ее энергии от до (статистический вес этих состояний). Тогда

,

где величина

имеет смысл числа состояний системы, приходящихся на интервал энергий вблизи данного значения энергии , и называется плотностью состояний.

Вероятность обнаружения системы в состоянии с энергией, принадлежащей интервалу значений междуи, пропорциональна произведению вероятностинахождения системы в каком-либо изквантовых состояний с данными значениями энергии и плотности этих состояний, определяемой формулой (2.1):.

Поэтому функция распределения квантовой системы по энергии имеет вид:

.

Условие нормировки для непрерывного энергетического спектра

геометрически означает, что площадь, заключенная под кривой , равна единице.

Пусть рассматриваемая система находится в равновесии. С течением времени любой параметр состояния меняется, колеблясь вокруг своего среднего значения. В теоретической физике доказывается, что для таких макроскопических систем среднее отклонение от среднего значения любой аддитивной величины быстро убывает с ростом числа частиц системы.

Таким образом, при применении статистики к макроскопическим телам, находящимся в равновесии, ее вероятностный характер обычно совершенно не проявляется. Если наблюдать такое макроскопическое тело в течение достаточно большого промежутка времени, то окажется, что все характеризующие это тело параметры состояния являются практически постоянными (равными своим средним значениям) и очень редко испытывают какие-либо заметные отклонения (флуктуации).

В соответствии с этими утверждениями функция распределения имеет чрезвычайно резкий максимум при(рис. 2.1, а), заметно отличаясь от нуля лишь вблизи от этой точки в очень узкой области шириной. (Интервалимеет порядок средней флуктуации энергии системы.)

Поэтому можно с высокой степенью точности интеграл (2.3) вычислить по формуле:

,

а функцию распределения изобразить в виде прямоугольника шириной , высотой, равной максимальному значению функции распределения, и площадью равной единице (рис. 2.1, б).

а б

Рис. 2.1. Функция распределения:

а – реальная; б – представленная в виде прямоугольника

Число квантовых состояний , соответствующее выбранному таким образом интервалу энергий, можно очень точно вычислить по формуле:

,

которая следует из соотношения .

С учетом выражения (2.5) формула (2.2) при принимает вид:

.

Подставляя правую часть выражения (2.6) в формулу (2.4), получим равенство:

.

Классическая функция распределения равновесной системы согласно рассуждениям, проведенным выше, также имеет чрезвычайно резкий максимум при . Поэтому условие нормировкиможно преобразовать, опираясь на рассуждения, использованные при переходе от (2.3) к (2.4). Тогда формулапримет вид:

,

где фазовый объем характеризует размеры области фазового пространства, в которой классическая система проводит почти все время, так как значение энергии системы практически всегда равно среднему.

Сравнивая формулы (2.7) и (2.8), можно глубже понять значение статистического веса в квантовой статистической физике. играет роль, аналогичную фазовому объему в классическом случае. Статистический вес характеризует размеры области пространства состояний, в которой данная квантовая система проводит почти все время. Другими словами, он характеризует «степень размазанности» макроскопического состояния системы по ее микроскопическим состояниям.

Статистический вес макросостояния показывает число различных комбинаций микросостояний частиц, приводящих к данному макроскопическому состоянию системы. Очевидно, что чем больше статистический вес макросостояния, тем больше вероятность его реализации. Поэтому статистический вес играет огромную роль в квантовой статистической физике.

Для установления связи между и(см. разд. 1.1.) при предельном переходе от квантовой статистики к классической базируются на соотношениях неопределенности Гейзенберга для каждой пары сопряженных переменных [1]. А именно, предполагается, что на каждое квантовое состояние в фазовом пространстве приходится ячейка объемом, где– постоянная Планка «с чертой»,- число степеней свободы системы. Поэтому (без учета внутренних степеней свободы частиц системы, например спина) число состояний, приходящихся на объем какой-либо области фазового пространства, можно записать как число ячеек, занимающих этот объем:. Если частицы имеют спин, то одному энергетическому уровню отвечаетвозможных спиновых состояний. В этом случае

.

Для частиц с нулевым спином (бесспиновых частиц, всех классических частиц и др.). Для электронов, протонов, нейтронов, и др. частиц, имеющих спин,.

Характер взаимодействия частиц ИГ в квантовой статистике также, как и в классической, позволяет представить энергию системы в виде суммы энергий всех квантовых частиц: (- энергия- той частицы). Тем самым квантово-механическая задача определения уровней энергии всего газа в целом сводится к задаче определения уровней энергии отдельной частицы.

Для отдельной квантовой частицы ИГ формула (2.9) после интегрирования по координатам принимает вид:

,

где

.

Вероятность нахождения квантовой частицы в состоянии с энергией определяется средним числом частиц в данном состоянии: .

Вероятность обнаружения частицы в состоянии с энергией, принадлежащей интервалу значений между и, пропорциональна произведению вероятностинахождения частицы в каком-либо изквантовых состояний с данными значениями энергии и числа этих состояний, определяемого формулой (2.10):

,

причем переход от модуля импульса к энергии осуществляется для массивных нерелятивистских и безмассовых частиц по-разному. От импульса нерелятивистских частиц массой к их энергии переходят, используя соотношение: .От импульсабезмассовых частиц к их энергиипереходят, используясоотношение:.

Однако взаимодействие квантовых частиц отличается от взаимодействия классических. Важнейшим свойством квантовых частиц является их абсолютная неразличимость. Математически неразличимость квантовых частиц одного типа проявляется как независимость вероятности обнаружения системы неразличимых частиц в некотором состоянии от перестановок любой пары частиц. Это возможно, только если волновые функции, описывающие систему, либо симметричны:

,

либо антисимметричны:

относительно перестановок любой пары частиц (в формулах (2.12), (2.13), например, меняются местами – «меняются состояниями» – -тая и -тая частицы, – полное число частиц системы).

В качестве примера рассмотрим квантовую систему, состоящую из двух неразличимых частиц. Энергия системы равна сумме энергий частиц: . Так как частицы неразличимы, вероятность найти первую частицу в первом квантовом состоянии с энергией, а вторую – во втором - с энергией, равна вероятности найти первую частицу во втором состоянии, а вторую – в первом. Поэтому вероятность обнаружить систему в некотором состоянии не зависит от перестановок частиц.Волновая функция, описывающая систему, представляется в виде суммы или разности произведений волновых функций отдельных частиц:

,

и либо симметрична (+), либо антисимметрична (-).

Статистические свойства ИГ, рассматриваемого как система одинаковых квантовых частиц, оказываются различными в зависимости от того, какой волновой функцией он описывается.