1.4. Распределение Больцмана. Теоретические сведения

Рассмотрим ИГ, находящийся во внешнем поле, в котором потенциальная энергия молекулы зависит только от ее координат²: например, в гравитационном поле. Если распределение Максвелла-Больцмана (1.5) проинтегрировать по всем импульсам частиц, то получим распределение частиц ИГ по координатам – распределение Больцмана:

,

где – концентрация частиц ИГ в точке с радиусом-вектором ;

постоянная –концентрация частиц в точках с потенциальной энергией, равной нулю.

Формула (1.17) следует из соотношения (1.7) и позволяет найти концентрацию и число частиц ИГ в элементе пространственного объема .

В однородном поле тяжести, например, вблизи поверхности планеты, потенциальная энергия частицы , где – ускорение свободного падения вблизи поверхности, а – высота над поверхностью планеты. Поэтому, если считать температуру одинаковой на всех высотах, распределение концентрации частиц ИГ по высоте определяется так называемой барометрической формулой:

,

где – концентрация частиц ИГ на высоте .

Плотность вещества связана с концентрацией простым соотношением: , поэтому распределение плотности ИГ по высоте также определяется с помощью формулы (1.18):

,

где – плотность ИГ на высоте .

Так как уравнение состояния ИГ связывает давление с концентрацией при заданной температуре, барометрическая формула (1.18) позволяет найти давление атмосферы на различных расстояниях от поверхности планеты:

,

где – давление ИГ на поверхности планеты.

В соответствии с барометрической формулой (1.18) среднее число частиц ИГ в вертикальном столбе с площадью основания в интервале высот в однородном поле силы тяжести вычисляется по формуле:

.

Полное число частиц в бесконечно высоком столбе ИГ находится по этой же формуле интегрированием по всему интервалу значений высоты: .

Относительное число частиц (вероятность обнаружения частиц) ИГ в заданном интервале высот вычисляется по формуле, аналогичной (1.16): .

С учетом свойства монотонности подынтегральной функции значение интеграла (1.21) и подобных интегралов при близких значениях пределов интегрирования и () достаточно точно вычисляется по приближенной формуле:, где– значение концентрации (1.18) при.

1.5. Распределение Больцмана. Задачи3 для самостоятельного решения

13(1). На какой высоте над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем у ее поверхности? Температура воздуха равна 290 К.

14(1). На какой высоте давление а) кислорода; б) азота уменьшится в 1,5 раза по сравнению с давлением на поверхности при температуре 100 C?

15(2). Идеальный газ вблизи поверхности Земли при н. у. имеет плотность 1,2 кг/м³. Вычислить плотность этого газа на высоте 1 км от поверхности.

16(1). При температуре 300 K на высоте 2084 м плотность некоторого газа, находящегося в поле силы тяжести Земли, равна 1 кг/м³. Установить, какой это газ, если его плотность у поверхности Земли при этой температуре равна 1,3 кг/м³.

17(2). Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление 80 кПа, благодаря чему летчик считает высоту полета неизменной. Однако температура воздуха изменилась на 1 K. На сколько метров ошибся летчик в определении высоты, если давление у поверхности Земли не менялось и оставалось равным 100 кПа?

18(2). Какой процент молекул кислорода и азота расположен на высотах от 2 до 5 км при температуре 0 C?

19(2). Во сколько раз отличаются вероятности нахождения молекул кислорода и азота в интервале высот от 0,99 до 1,01 км над поверхностью Земли при температуре 17С.

20(2). Какой процент молекул а) кислорода; б) азота, формирующих земную атмосферу, расположен выше 20 км при температуре 17 C?

21 (2). Вычислить температуру, при которой вероятность обнаружить молекулы кислорода на высоте 3,5 км была бы в 1,5 раза меньше, чем у поверхности Земли. Как при этих же условиях соотносятся вероятности обнаружения молекул азота? Вычисления вероятностей провести для единичных интервалов вблизи указанных значений высот.

22(3). Определить массу вертикального столба воздуха высотой 1,14 км с основанием площадью 1,2 м², расположенным на поверхности Земли. У поверхности Земли н. у.