1. Классические распределения

1.1. Некоторые общие теоретические сведения

Рассмотрим замкнутую систему в течение времени, большего времени релаксации системы. Этим подразумевается, что система находится в состоянии равновесия. Состояние любой макроскопической подсистемы меняется со временем очень сложным и запутанным образом, так как она испытывает всевозможные воздействия со стороны остальных частей замкнутой системы, а эти воздействия вследствие огромного числа степеней свободы имеют сложный и запутанный характер. Методы механики оказываются неприменимыми. Для описания поведения подсистемы используется статистический метод, в основе которого лежит предположение, что за достаточно большой промежуток времени выделенная подсистема побывает достаточно много раз во всех своих возможных состояниях [1]. Выводы и предсказания о поведении макроскопических тел, которые позволяет делать статистическая физика, имеют вероятностный характер.

Фазовое пространство физической системы – это абстрактное пространство, координатами которого служат все обобщенные координаты и обобщенные импульсы этой системы. Состояния системы, определяемые полностью набором значений обобщенных координат и импульсов, в фазовом пространстве изображаются точками.

Пусть - число степеней свободы термодинамической системы; - бесконечно малый элемент объема фазового пространства системы, соответствующий значениям ее обобщенных координат и обобщенных импульсов (), лежащим в некоторых малых интервалах и :

.

Тогда вероятность обнаружения системы в состоянии с координатами, имеющими значения, лежащие в бесконечно малых интервалах между и , и можно записать в виде:

,

где - функция всех координат и импульсов частиц системы, играющая роль плотности вероятности в фазовом пространстве и называемая функцией распределения данной системы.

Нахождение функции распределения рассматриваемой системы является основной задачей статистической физики. Если основная задача статистической физики решена и функция распределения известна, то можно вычислить вероятности различных значений любой физической величины, зависящей от состояния системы, то есть от значений обобщенных координат и импульсов системы.

Вероятность того, что физическая величина принимает значение в некотором интервале возможных значений отдовычисляется стандартно:

.

Среднее значение любой физической величины вычисляется умножением ее возможных значений на соответствующие этим значениям вероятности и последующим суммированием этих произведений. При непрерывном изменении значений величины это сумма переходит в интеграл, а формула для среднего значения принимает вид:

.

Так как сумма вероятностей всех возможных состояний должна быть равна единице, функция распределения должна удовлетворять условию нормировки:

.

Если функция распределения нормирована (удовлетворяет соотношению (1.2)), то знаменатель правой части выражения (1.1) равен единице, поэтому формула для среднего значения принимает вид:

.

Система, потенциальной энергией взаимодействия частиц которой можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией, называется идеальным газом (ИГ). Частицы классического идеального газа считаются абсолютно твердыми, а их столкновения – абсолютно упругими. Модель ИГ применима к реальному газу, если средняя кинетическая энергия частиц газа много больше средней потенциальной энергии их взаимодействия. Физически это означает либо малость взаимодействия частиц при любых расстояниях между ними, либо достаточную разреженность газа. (Разреженность приводит к тому, что частицы подавляющую часть времени находятся на значительных расстояниях друг от друга, на которых взаимодействие очень мало.)

Модель ИГ позволяет представить энергию системы в виде суммы энергий каждой из составляющих его частиц: (- энергия- той частицы). Поэтому функция распределения ИГ разбивается на произведение множителей, каждый из которых зависит от импульса и координат только одной молекулы.

Вероятность того, что энергия частицы классического ИГ имеет значение в интервале от до, определяется каноническим распределением (распределением Гиббса) [1]:

,

где - постоянная Больцмана;

- температура;

- постоянная, определяемая условием нормировки.

Таким образом, приближение ИГ позволяет свести задачу рассмотрения всей совокупности частиц ИГ к вычислению функции распределения для одной частицы: вероятность обнаружения частицы ИГ в некотором состоянии не зависит от координат и импульсов других частиц. При этом считается, что частица может находиться в любой точке объема, в котором заключен ИГ, а ее энергия с различной вероятностью может принимать любое значение от нуля до очень большого за счет соударений с другими частицами.

Энергию системы в классической физике всегда можно представить в виде суммы двух частей - кинетической и потенциальной энергий. В частности, энергия частицы ИГ, находящегося во внешнем (потенциальном) поле, также представима в виде суммы кинетической и потенциальной энергий.

Функция распределения по импульсам и координатам частиц равновесного классического ИГ, находящегося во внешнем (потенциальном) поле, называется распределением Максвелла-Больцмана и имеет вид:

,

где  масса частицы ИГ.

Постоянная в формуле (1.5) определяется условием нормировки, которое налагается требованием, чтобы полное число частиц в системе было равно суммарному числу частиц, находящихся в различных возможных состояниях.

Распределение Максвелла-Больцмана (1.5), а, следовательно, и вероятность обнаружения системы в некотором элементе фазового пространства (в некотором состоянии) разбивается на произведение двух множителей, один из которых зависит только от координат, а другой – только от импульсов частицы. Это означает, что вероятности различных значений импульса и координат частицы независимы друг от друга, то есть определенные значения импульса никак не влияют на вероятности тех или иных значений координат и наоборот. Поэтому можно вычислить распределение вероятности для импульса и координат каждой частицы в отдельности.

Так как сумма вероятностей всех возможных значений импульса или координат должна быть равна единице, каждая из вероятностей

и

должна быть нормирована. Таким образом, из условий нормировки могут быть найдены значения констант и.