Основы_электротехники

Из формул (2.18) следует, что угол сдвига фаз φ между вектором напряжения U L и вектором тока IL в идеальной катушке индуктивности равен +90º (на рис. 2.7б вектор U L по-

вернут относительно вектора I L на 90º против часовой стрелки).

3. ЭЦ с идеальным емкостным элементом С, для которого справедливы следующие равенства:

30

Рис. 2.7

2.6. Закон Ома в комплексной форме

Рассмотрим цепь с последовательным соединением резистивного, индуктивного и емкостного элементов (рис. 2.8), для которой справедливо следующее равенство:

тивление цепи;

R, X – активное и реактивное сопротивления цепи.

Эквивалентное комплексное сопротивление можно записать

втрех формах (2.22) и представить на векторной диаграмме

ввиде треугольника сопротивлений (рис. 2.8б):

31

Рис. 2.8

Из формулы (2.21) следует, что входной ток цепи

Векторная диаграмма напряжений и токов для цепи на рис. 2.8а представлена на рис. 2.8в. Построение ее велось в следующей последовательности:

1)сначала строились оси комплексной плоскости;

2)затем выбирались масштабы для напряжений и токов;

при этом вектор входного напряжения U направлялся вдоль действительной оси +1;

3)далее в соответствии с (2.23) под отрицательным углом «–φ» откладывался вектор входного тока I ;

4)под углом –90º к току I откладывался вектор напряжения UC ;

32

5)из конца вектора UC под углом +90º к току I откладывался вектор напряжения U L ;

6)из конца вектора U L параллельно вектору тока I откла-

дывался вектор напряжения U R ; при этом по формуле (2.21) векторная сумма напряжений UC , U L и U R должна равняться входному напряжению U .

2.7. Резонанс напряжений в цепи с последовательным соединением R, L, C-элементов

Используя формулы

XL = ωL, XC = 1/ωC, X = XL – XC и Zэкв = R2 X 2 , (2.24)

построим зависимости сопротивлений цепи от круговой частоты питания ω (рис. 2.9).

Из рисунка видно, что при XL = XC реактивное сопротивление цепи X = 0 и частота ω равна резонансной частоте ωо:

На резонансной частоте эквивалентное комплексное сопротив-

ление цепи принимает минимальное значение

Из равенства реактивных сопротивлений (XL = XC) следует равенство падений напряжений на них (UL = UC); при этом каж-

дое из них принимает максимальное значение, так как пропорционально Imax, и может быть в несколько раз больше входного напряжения цепи:

33

где o L 1/ oC – волновое сопротивление цепи на резо-

нансной частоте;3...15 добротность резонансного контура.

Поэтому такое явление называется резонансом токов, а

формулы (2.24)–(2.28) – условиями резонанса в цепи с последовательным соединением R, L, C-элементов

Из сказанного можно сделать следующие выводы:

1) на резонансной частоте ωо комплексное сопротивление Zэкв принимает минимальное значение, а ток цепи I – максимальное значение;

2) угол сдвига φ между вектором входного напряжения и вектором тока на резонансной частоте равен нулю, т.е. вектор тока I по направлению совпадает с вектором входного

напряжения U (рис. 2.10);

3) векторы падений напряжений U L и UC на реактивных сопротив-

лениях взаимно компенсируют друг друга, а векторная сумма напряже-

ний UC , U L и U R должна равняться

входному напряжению U ;

4) в последовательной R, L, C цепи на резонансной частоте падения напряжений на емкости и индуктивности могут быть в раз больше входного напряжения цепи, что может привести к выходу из строя кон-

денсатора и катушки индуктивности, поэтому в силовых электрических цепях надо избегать резонанса напряжений.

34

Используя алгебраическую или показательную формы мощности S , можно построить треугольник мощностей (рис. 2.11), из которого видно, что при 0, cos 1, S P, а Q 0. Следовательно, при cos 1 потерь электроэнергии в цепи

нет, и вся оплаченная мощность может идти на совершение полезной работы. Повышение cos является эффективным спосо-

бом экономии электроэнергии в электрических цепях переменного тока.

2.9. Резонанс токов в цепи с параллельным соединением катушки индуктивности и конденсатора

Приемники электроэнергии в реальных сетях электроснабжения часто представляют собой параллельное соединение катушек индуктивностей, конденсаторов и резисторов. У резисторов cos 1, поэтому наиболее интересным является рассмот-

рение простой цепи с параллельным соединением катушки индуктивности и конденсатора, для которой cos 1.

Электрическая цепь с параллельным соединением катушки индуктивности и конденсатора (рис. 2.12) состоит из двух ветвей, включенных между двумя узлами a и b, находящимися под

одним и тем же напряжением сети U . Схема замещения ка-

тушки индуктивности представляет собой последовательное со-

единение идеального резистивного элемента с сопротивлением

RК, примерно равным электрическому сопротивлению провода катушки, и идеального индуктивного элемента с индуктивностью L.

Схема замещения зависит от конструкции реального элемента цепи, материалов, из которых он изготовлен, и частоты источника питания. Например, на частоте сети 50 Гц схема замещения конденсатора представлена идеальным емкостным элементом с емкостью C. Следует однако заметить, что в радиоприемниках, телевизорах и других устройствах, работающих на высоких частотах (десятки тысяч килогерц), схема замещения

36

реального конденсатора (и реальной катушки также) усложнится и будет представлять собой более сложную схему соединения трех идеальных элементов (резистивного, индуктивного и емкостного с параметрами R, L и C).

Для цепи (рис. 2.12) комплексное значение входного тока цепи равно сумме комплексных токов ветвей:

где I – входной ток цепи;

I K – ток катушки;

I C – ток конденсатора.

Рис. 2.12

Токи в ветвях схемы можно найти по закону Ома в комплексной форме, исключая комплексные значения ZK и ZC в знаменателях выражений путем умножения числителя и знаменателя на их комплексно-сопряженные значения:

I K = U /ZK = U /(RK + jXL) =U (RK – jXL) / (RK + jXL)(RK – jXL) =

37

где ZK = RK + jXL – комплексное сопротивление катушки, Ом;

катушки, Ом;

K arctg(X L RK ) – аргумент комплексного сопротивления

катушки, град или рад;

ZC = –jXC – комплексное сопротивление конденсатора, Ом; XC 1 C – емкостное сопротивление конденсатора, Ом;

Из формулы (2.31) видно, что комплексное значение тока катушки равно векторной сумме активного и реактивного токов катушки; при этом на векторных диаграммах (рис. 2.13) актив-

ный ток Ia будет направлен вдоль действительной оси ком-

плексной плоскости (совпадает с направлением вектора напряжения сети), а индуктивный ток –jIL будет направлен вдоль отрицательной мнимой оси комплексной плоскости (отстает на 90º от вектора напряжения сети).

Из формулы (2.33) видно, что на векторных диаграммах (рис. 2.13) емкостной ток конденсатора jIC будет направлен

вдоль положительной мнимой оси комплексной плоскости (опе-

режает на 90º вектор напряжения сети).

38

Кроме того, из формулы (2.34) видно, что реактивный ток

цепи I P , равный разности реактивных токов катушки и конденсатора j (IC – IL), будет совпадать по направлению (рис. 2.13) с большим из них.

Заметим, что все углы на векторных диаграммах отсчиты-

ваются от действительной оси; при этом угол, отсчитываемый

против часовой стрелки, берется со знаком «+», а угол, отсчитываемый по часовой стрелке, – со знаком «–».

2.10. Методика построения векторных диаграмм

Методика построения векторных диаграмм включает следующие этапы (рис. 2.13):

1)строим действительную (+1) и мнимую (+j) оси комплексной плоскости;

2)выбираем масштабы для напряжений и токов, например,

МU = 50 В/см и М I = 0,5 А/см;

3)строим в масштабе вектор напряжения сети вдоль оси +1, поскольку оно остается неизменным для данной цепи;

4)используя формулы (2.32) и (2.33), строим в масштабе

векторы токов катушки ( I K = Ia – jIL) и конденсатора ( I C = jIC );

5)используя формулу (2.31), строим вектор входного тока

цепи;

6)указываем на диаграмме угол сдвига фаз φK между током катушки и вектором напряжения сети (действительной осью), а также угол сдвига фаз φ между входным током цепи и вектором напряжения сети;

7)используя формулу (2.34), строим вектор реактивного

тока цепи I P .

С целью различения векторов, совпадающих или противоположных по направлению, их строят параллельно на расстоянии 0,5…1,0 мм друг от друга.

39