3.3. Динамические звенья сар

В процессе работы САР может находиться в статическом или динамическом режиме. Наиболее сложным и важным для САР является динамический режим, когда происходит перемещение регулирующего органа и изменение регулируемого параметра объекта (см. рис. 3.1).

Динамические процессы САР описываются дифференциальными уравнениями, с помощью которых удается провести количественный анализ системы регулирования. Обычно дифференциальные уравнения систем регулирования имеют высокий порядок (4-й, 5-й и более), поэтому всю систему регулирования разделяют на сравнительно простые части (динамические звенья) и с помощью уравнений этих частей не более 2-го порядка составляют дифференциальное уравнение всей системы регулирования.

Динамическим звеном называется часть системы регулирования, описываемая дифференциальным или иным уравнением определенного типа. Отличие элемента от динамического звена состоит в том, что элемент может состоять из нескольких динамических звеньев. Для динамического звена не является обязательным конструктивное или схемное оформление. В отдельных случаях динамическое звено может вообще не иметь физического смысла, характеризуя лишь математические зависимости между некоторыми величинами автоматической системы.

Условное изображение динамического звена представлено на рис. 3.8, где ,–входная и выходная величинызвена, f – возмущающее воздействие.

В общем случае обе величины и представляют собой функции времени.

Рис. 3.8

Статической характеристикой звена называется зависимость выходного сигнала от входного сигнала в установившемся режиме, то есть

.

По виду статических характеристик все элементы (звенья) автоматических систем делятся на линейные и нелинейные звенья. Статическая характеристика линейного звена имеет вид прямой линии (рис. 3.9а)

,

где k – коэффициент передачи звена (или усиления звена).

Обычно статические характеристики элементов и звеньев автоматических устройств нелинейные (см. рис. 3.9 б, в, г). Однако в инженерной практике часто нелинейные характеристики приближенно заменяются линейными (рис. 3.9в). Такое приближение называется линеаризацией.

Рис. 3.9. Статические характеристики звеньев

Статическая характеристика полностью характеризует поведение динамического звена в установившихся режимах.

Динамические характеристики выражают зависимость выходной величины от входной в динамическом (переходном) режиме, когда обе эти величины изменяются во времени. Динамические свойства звеньев описываются дифференциальными уравнениями, связывающими входную и выходную величины звеньев во времени.

Например, большинство тепловых объектов описываются дифференциальным уравнением

, (3.1)

где – постоянная времени объекта, с;К – коэффициент усиления объекта.

Часто дифференциальные уравнения записывают в операторной форме. Для этого символ дифференцирования заменяют операторным символом:

; . (3.2)

Соответственно для операции интегрирования вводятся обратные обозначения

; и т.д. (3.3)

Замена в дифференциальных уравнениях позволяют получить выражения, формально совпадающие с выражениями изображений по Лапласу.

В операторной форме записанное дифференциальное уравнение (3.1) будет иметь вид

(3.4)

или

. (3.5)

Символ можно рассматривать как обычный множитель и производить над ним все математические преобразования: выносить за скобку, сокращать и т.п. Операторная форма обозначения сокращает объем записи, упрощает промежуточные математические выражения при анализе систем регулирования.

Общее и полное выражение динамических и статических свойств звена дается его передаточной функцией.

Передаточная функция – это отношение, записанных в операторной форме, выходной величины звена к входной при нулевых начальных условиях

. (3.6)

Передаточную функцию теплового объекта можно получить из операторного уравнения (3.5)

, (3.7)

где К – коэффициент усиления, характеризующий статические свойства объекта; Т – постоянная времени, характеризующая динамические свойства объекта.

Любое исследование звена (объекта) в конечном счете, сводится к определению его передаточной функции.

Частотные характеристики звеньев. В реальных системах часто входные сигналы звеньев или систем изменяются по гармоническому закону заданной амплитуды и частоты. В таких случаях параметры колебаний на выходе звена с помощью переходной характеристики получить трудно. В тоже время частотный метод позволяет получить выходные параметры звена при любом входном периодическом сигнале.

При подаче на вход звена гармонического сигнала

(3.8)

получаем на выходе звена сигнал

, (3.9)

где A и B – амплитуды входного и выходного сигналов; – угловая частота;T – период колебаний; – фазовый сдвиг между входными и выходными колебаниями.

Выражения (3.8) и (3.9) можно представить в виде графиков (рис. 3.10)

Рис. 3.10.

При значении амплитудаB и фаза зависят от частоты. Если постепенно увеличивать от нуля, определяя установившиеся значенияB и для разных частот при фиксированном значенииА, то можно получить зависимости

и , (3.10)

где – амплитудно-частотная характеристика;– фазовая частотная характеристика.

Синусоидальные величины и (рис. 3.10) можно представить в виде вращающихся векторов на комплексной плоскости (рис. 3.11).

Вращающийся вектор синусоидальной величины можно представить на комплексной плоскости комплексным числом, представленным в показательной, тригонометрической и алгебраической форме. Переход от одной формы записи к другой осуществляется с помощью формулы Эйлера

. (3.11)

Тогда и можно представить в виде (3.12)

Рис. 3.11

При определении передаточной функции воспользуемся комплексными числами векторови, записанными в показательной форме. При этом сделаем замену. Тогда

, (3.13)

а так как величины изависят от(приА = const), то час-

тотная передаточная функция будет иметь вид (3.14)

где– вещественная частотная характеристика;– мнимая частотная характеристика.

Таким образом, подставляя в выражение для передаточной функции в местокомплексную величину, можно получить однозначную зависимость между передаточной функцией и частотными характеристиками звена. Величинаназывается амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ).

Частотные характеристики позволяют сократить объем вычислительной работы при анализе САР и нашли широкое применение на практике при оценке устойчивости и качества систем регулирования.