Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Глава 1.docx
Скачиваний:
13
Добавлен:
01.04.2015
Размер:
477.31 Кб
Скачать

Глава 1. Линейные системы и матрицы.

§1. n – мерное пространство Rn

Вещественные числа (СПб) = действительные числа (М).

x1, x2, …, xnn-мерная точка M( x1, x2, …, xn ).

Расстояние между M( x1, x2, …, xn ) и N( y1, y2, …, yn )

Вектор

радиус-вектор точки М.

Окрестность точки, ограниченное множество, замкнутое или открытое множество, предел последовательности n-мерных точек. Скалярное произведение.

Геометрически R1 – прямая, R2 – плоскость, R3 – пространство.

Множество наз.выпуклым, если

Свойство. V1, V2 – выпуклы выпукло.

§2. Системы линейных уравнений.

x1, x2, …, xn

а1x12x2 +…+аn xn = b

k1, k2, …, kn

x1 = k1, x2 = k2,…, xn = kn

Матрица системы столбец правых частей

размер m x n размерm x 1

Расширенная матрица системы размерm x (n+1)

Элементарные преобразования строк матрицы:

  1. смена местами двух строк

  2. умножение элементов строки на число

  3. прибавление к элементам одной строки чисел, пропорциональных элементам другой строки

Преобразования обратимы. Система переходит в равносильную.

Если получается строка расширенной матрицы, состоящая из нулей – ее вычеркивают.

§3. Метод Гаусса. Метод Жордана.

п р я м о й х о д

о б р а т н ы й х о д

b

x1

x2

x3

Решение системы методом Жордана ( Жордана-Гаусса )

-1

1

1

2

а11=1 – ключевой элемент: х1 исключается с помощью 1-го уравнения

4

1

-2

-2

из 2-й строки вычитается 1-я, умноженная на 1

-2

1

4

4

из 3-й строки вычитается 1-я, умноженная на 1

-1

1

1

2

ключевая строка делится на ключевой элемент

5

0

-3

-4

а22= -3 – ключевой элемент: х2 исключается с помощью 2-го уравнения

-1

0

3

2

2/3

1

0

2/3

из 1-й строки вычли измененную 2-ю (деленную на -3)

-5/3

0

1

4/3

ключевая строка делится на ключевой элемент (на -3)

4

0

0

-2

из 3-й строки вычли измененную 2-ю, умноженную на 3

2

1

0

0

из 1-й строки вычли измененную 3-ю, умноженную на 2/3

1

0

1

0

из 2-й строки вычли измененную 3-ю, умноженную на 4/3

-2

0

0

1

ключевая строка делится на ключевой элемент (на -2)

Бывают системы, не имеющие решений (несовместные), имеющие ровно 1 решение (см. пример) и имеющие бесконечное число решений.

несовместная имеет множество решений

§4. Действия над матрицами.

  1. Сложение матриц

С=А+В, когда cij = aij + bij. Матрицы одного размера.

A+B=B+A, ,, (A+B)+C=A+(B+C)

  1. Умножение матрицы на число

В=k.А, когда bij = k.aij Получается матрица того же размера.

(km)A=k(mA), 1.A=A, 0.A=. (k+m)A=kA+mA, k(A+B)=kA+kB

  1. Умножение матрицы на матрицу.

Правило: «строка 1-й матрицы на столбец 2-й матрицы по формуле скалярного произведения». Число столбцов 1-й матрицы должно быть равно числу строк 2-й.

А . В = С

mxnnxpmxpскалярное произведение

Свойства.1. (АВ)С=А(ВС) 2. Em, En: Em.A = A, A . En=A(единичные)

3. 4. Если, то не обязательноили

5. даже для квадратных матриц 6. А(В+С)=АВ+АС, (А+В)С=АС+ВС

  1. к(АВ)=(кА)В=А(кВ)

  1. Транспонирование матриц– смена местами строк и столбцов.

Свойства.1. (АТ)Т=А 2. (А+В)ТТТ3. (кА)Т=кАТ4. (А.В)ТТ.АТ

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]