§7. Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя.

1. Раскрытие неопределенностей типа

Если f(x) и g(x) обе б.м. или б.б.

Теорема 5 (Лопиталь) f,gC¹(U), g^/(x)  0 в U.

2. Раскрытие неопределенностей типа 0^. и    (Эйлер)

0^. - см. «Вычисление пределов. Полезные советы»

  . Если f(x) и g(x) обе б.б., то

Если k  1 , то исходный предел = , если k = 1, то получается ^.0.

3. Раскрытие неопределенностей типа 0⁰, ⁰, 1^ (Коши).

Если y = f(x)^g(x) , то ln y = g(x)^.ln f(x) (0^. или ^.0).

§8. Формула Тейлора.

Аналогично,

Теорема 6 (Тейлора) f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) U_(a) = x xa< x U_(a)

a = 0 ,0 <  < 1 – формула Маклорена.

§5. Непрерывные функции. Теоремы Коши и Вейерштрасса.

Односторонний предел справа (правосторонний предел)

такое, что .

Односторонний предел слева (левосторонний предел)

такое, что .

y=f(x) D непрерывной в точке x₀

а) х₀  D б)  в)

Разрывы

1)  , но х₀  D или - устранимый разрыв.

2) , ноа₊  а_или - разрыв 1-го рода.

3. разрыв 2-го рода.

f  C( a,b ) f( x ) непрерывна на интервале, если она непрерывна во всех его точках.

f  C[ a,b ] f( x ) непрерывна на отрезке, если она непрерывна на интервале ( a,b ) и

Теорема 1. Если f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀, то функции f(x)  g(x), f(x) ^. g(x), f(x) / g(x) ( при g(x₀)0 ) также непрерывны в точке х₀.

Теорема 2. Если f  C[ a,b], f(a ) ^.f(b) < 0 , то  c (a,b): f(c) = 0.

Теорема 3. Если f  C< a,b>, принимает значения A,B ( A < B ) на промежутке < a,b>, то C[A,B]  c(a,b): f(c) = C.

Теорема 4. Если f  C[ a,b], то она ограничена на [ a,b] .

Теорема 5. Если f  C[ a,b], то существуют точки, в которых достигаются наибольшее и наименьшее значения на отрезке.

§6. Вычисление пределов. Практические советы.

1. Если f(x)  бесконечно малая (б.м.) при xx₀ , то 1/f(x)  бесконечно большая (б.б.) при xx₀.

2. Если f(x)  б.б. при xx₀ , то 1/f(x)  б.м. при xx₀.

3. Если f(x)  б.м. при xx₀, g(x)  б.б. при xx₀, то

4. Если f(x)  б.м. при xx₀, , то

f(x)/g(x)  б.м. при xx₀, g(x)/f(x)  б.б. при xx₀.

5. Пусть f(x) и g(x)  б.м. при xx₀, рассмотрим

Если р = 0, то f(x) величина большего порядка малости, чем g(x) при xx₀ f(x)=o(g(x))

Если р = , то f(x) величина меньшего порядка малости, чем g(x) при xx₀ g(x)=o(f(x))

Если р = С, тоf(x) иg(x)величины одного порядка малости приxx₀

g(x)=О(f(x)) илиf(x) Cg(x).Таблица эквивалентностей.

Если x₀  0, то можно сделать замену переменнойу =xx₀ 0, откудах = у + х₀

При X предел отношения степенных функций зависит от старших степеней, приx 0 от младших.

Глава 5. Исследование функций и построение графиков.

§1. Возрастание и убывание функции. Экстремум.

y = f(x) возрастает  (убывает ) на (a,b) , если x₁ < x₂  f(x₁) < f(x₂) ( f(x₁) > f(x₂) )

Теорема 1. Если fC¹(a,b), f^(х)>0 x(a,b), то f(x) возрастает на (a,b) (f^<0  убывает)

Док-во. По теореме Лагранжа f(x₂) – f(x₁) = f(x⁰)(x₂ – x₁), x⁰(x₁,x₂) (a,b)

Если  окрестность U_(x₀) точки х₀: xx₀, x U_(x₀) f(x) > f(x₀), то х₀ – т. минимума

f(x) < f(x₀), то х₀ – т. максимума – экстремумы.

Необходимое условие экстремума.х₀– т. экстремумаf^(х₀)=0 или не существует