- •Глава 1. Линейные системы и матрицы.
- •§2. Системы линейных уравнений.
- •Элементарные преобразования строк матрицы:
- •§3. Метод Гаусса. Метод Жордана.
- •§4. Действия над матрицами.
- •§5. Обратная матрица.
- •§6. Балансовая модель.
- •§7. Свойства определителей.
- •§8. Формулы Крамера.
- •Глава 3. Функции. Пределы. Непрерывность.
- •§1. Множества. Логическая символика.
- •§2. Функции вещественной переменной.
- •§3. Предел последовательности вещественных чисел.
- •§3. Предел последовательности вещественных чисел.
- •§4. Предел функции.
- •Глава 4. Дифференцирование функций одной переменной.
- •§1. Определение производной.
- •§2. Правила дифференцирования.
- •§7. Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя.
- •§8. Формула Тейлора.
- •§5. Непрерывные функции. Теоремы Коши и Вейерштрасса.
- •§6. Вычисление пределов. Практические советы.
- •При X предел отношения степенных функций зависит от старших степеней, приx 0 от младших.
- •Глава 5. Исследование функций и построение графиков.
- •§1. Возрастание и убывание функции. Экстремум.
- •Достаточное условие экстремума.
- •§2. Направление выпуклости. Точки перегиба.
- •Достаточное условие перегиба.
- •§3. Асимптоты.
- •§4. Общий порядок построения графика.
- •§5. Численное решение уравнений. Метод Ньютона.
- •Глава 6. Комплексные числа.
- •§1. Действия над комплексными числами.
- •§2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
- •§3. Формулы Эйлера и Муавра.
- •При делении …
- •§4. Извлечение корня из комплексного числа.
- •§5. Решение алгебраических уравнений.
- •Глава 7. Вычисление неопределенных интегралов.
- •Как строятся «экономические кривые»?
- •§9. Двойной интеграл.
- •§10. Приложения двойных интегралов. Геометрические приложения
- •Механические приложения
- •§11. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •§12. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •§13. Понятие системы дифференциальных уравнений.
Как строятся «экономические кривые»?
S = f(P) предложение от цены P = f -1(S)
P = g(D) цена от спроса (P0,Q0) – точка равновесия
Эластичность спроса
Пусть Q = CPПриED = > 1 – спрос эластичен, при 1 - нет
Эластичность предложения. Пусть Q = CPПриES = > 1 – предложение эластично, при 1 - нет
§9. Двойной интеграл.
f(x,y) = f(P) C(G), G R2 = 1,2,…,n Площади подобластей i , диаметры di Pi i, i = 1, 2,…,n max di 0 (1 i n)
повторных интегралов
G ограничена кривыми y = 1(x) снизу, y = 2(x) сверху и прямыми x = a слева, x = b справа, 1C[a,b], 2C[a,b], 1(x) 2(x)
Или: G ограничена кривыми х = 1(у) слева, х = 2(у) справа и прямыми у = с снизу, y = d сверху, 1C[c,d], 2C[c,d], 1(y) 2(y)
Если граница задается несколькими формулами, вычисляют несколько интегралов. Изменить порядок интегрирования
Замена переменных. x = (u,v), y = (u,v) взаимно-однозначное непрерывно дифференцируемое отображение Ouv G Oxy u = (x,y), v = (x,y) G якобиан
Для полярных координат
§10. Приложения двойных интегралов. Геометрические приложения
а) Площадь S плоской области G
в декартовых прямоугольных, в криволинейных, в частности, в полярных
б) Объем V, ограниченный сверху непрерывной поверхностью z = f(x,y), снизу плоскостью z = 0 и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Оху область G
Если тело ограничено сверху непрерывной поверхностью z = f1(x,y), снизу непрерывной поверхностью z = f2(x,y), и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Оху область G
Механические приложения
Пластинка переменную поверхностную плотность = (х,у) масса М статические моменты Мх и Му относительно осей Ох и Оу
координаты центра масс
Моменты инерции пластинки относительно осей Ох и Оу
Глава 10. Дифференциальные уравнения.
§1. Уравнения 1-го порядка.
F(x,y,y) = 0 y = f(x,y) (1) (a,b) y = (x) (x) (x,y) = 0
y = (x,C) y = (х,C0) (x,y,C) = 0
§2. Уравнения с разделяющимися переменными.
y = f(x,y) f(x,y) = f1(x)f2(y)
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, M(x,y) = M1(x) M2(y), N(x,y) = N1(x)N2(y)
y = f(ax + by +d), b0 u(x) = ax + by(x) +d u = a + b f(u)
§3. Однородные уравнения.
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 kR: M(tx,ty) = tkM(x,y), N(tx,ty) = tkN(x,y), t0
к однород., « = » к ур-ям с разд. перем.
§4. Линейные уравнения 1-го порядка.
y = P(x).y + Q(x) Q(x)0 y = P(x).y
1) Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа)
2) Метод подстановки y(x) = u(x).v(x) u = u1(x), v = v(x,C) y(x)
§5. Уравнение Бернулли.
y = P(x).y + Q(x).ym m0, m1
1) Подстановка z = y1-m m>1 y = 0
2) Метод подстановки y(x) = u(x).v(x)
u = u1(x), v = v(x,C) y(x)
§6. Теорема существования и единственности решения.
Задача Коши для уравнения y = f(x,y) начальному условию у(х0) = у0
Теорема 1. (Коши) D Oxy fy(x,y) (x0,y0)D x0 – h < x < x0 + h
Особое решение y = (x,C)
§7. Дифференциальные уравнения высших порядков.
F(x,y,y,y,…,y(n)) = 0 y(n) = f(x,y,y,…,y(n-1)) (2)
Начальные условия y(x0) = y0, y(x0) = y1,…, y(n-1)(x0) = yn-1 (3)
y = (x,C1, C2,…,Cn)
Теорема 2 (существования и единственности решения задачи Коши)
(2) f(x,y,y,…,y(n-1)) D (x0,y0,y1,…,yn-1)D x0 h < x < x0 +h
§8. Уравнения, допускающие понижение порядка.
а) y(n) = f(x) y = dxdx…f(x)dx + Pn-1(x)
б) F(x, y(k),…,y(n)) = 0 y(k) = z(x)
в) F(y, y,…,y(n)) = 0 y = p(y)
г)
§9. Линейные однородные уравнения.
y(n) + a1(x)y(n-1) + … + an-1(x)y + an(x)y = 0 (4)
y1(x) y(x) = y1(x)z(x) (n1)-го порядка
Теорема 3 система функций у1(х), у2(х), … , уn(х) (4) определитель Вронского
Общее решение (4) y0(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + … + Cnyn(x) фундаментальной
§10. Линейные неоднородные уравнения.
y(n) + a1(x)y(n-1) + … + an-1(x)y + an(x)y = f(x) (f(x) 0) (5)
y(x) = y0(x) + y(x) y0(x)- общее решение (4) y(x) - частное решение (5)
Если известны у1(х), у2(х), … , уn(х), то можно найти y(x) методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.
В частности, для уравнения 2-го порядка y + a1(x)y + a2(x)y = f(x) (6)
сначала решают однородное уравнение y + a1(x)y + a2(x)y = 0,
получают фундаментальную систему у1(х), у2(х) и общее решение y0(x) = C1y1(x) + C2y2(x),
затем по методу Лагранжа общее решение (6) ищут в виде y(x) = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x),
где C1(x)иC2(x) находят из системы
, после чего интегрированием находятC1(x)иC2(x)