Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Глава 1.docx
Скачиваний:
15
Добавлен:
01.04.2015
Размер:
477.31 Кб
Скачать

Как строятся «экономические кривые»?

S = f(P) предложение от цены P = f -1(S)

P = g(D) цена от спроса (P0,Q0) – точка равновесия

Эластичность спроса

Пусть Q = CPПриED = > 1 – спрос эластичен, при 1 - нет

Эластичность предложения. Пусть Q = CPПриES = > 1 – предложение эластично, при 1 - нет

§9. Двойной интеграл.

f(x,y) = f(P) C(G), G R2 = 1,2,…,n Площади подобластей i , диаметры di Pi i, i = 1, 2,…,n max di 0 (1 i n)

повторных интегралов

G ограничена кривыми y = 1(x) снизу, y = 2(x) сверху и прямыми x = a слева, x = b справа, 1C[a,b], 2C[a,b], 1(x) 2(x)

Или: G ограничена кривыми х = 1(у) слева, х = 2(у) справа и прямыми у = с снизу, y = d сверху,1C[c,d], 2C[c,d], 1(y) 2(y)

Если граница задается несколькими формулами, вычисляют несколько интегралов. Изменить порядок интегрирования

Замена переменных. x = (u,v), y = (u,v) взаимно-однозначное непрерывно дифференцируемое отображение  Ouv  G Oxy u = (x,y), v = (x,y) G   якобиан

Для полярных координат

§10. Приложения двойных интегралов. Геометрические приложения

а) Площадь S плоской области G

в декартовых прямоугольных, в криволинейных, в частности, в полярных

б) Объем V, ограниченный сверху непрерывной поверхностью z = f(x,y), снизу плоскостью z = 0 и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Оху область G

Если тело ограничено сверху непрерывной поверхностью z = f1(x,y), снизу непрерывной поверхностью z = f2(x,y), и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Оху область G

Механические приложения

Пластинка переменную поверхностную плотность = (х,у) масса М статические моменты Мх и Му относительно осей Ох и Оу

координаты центра масс

Моменты инерции пластинки относительно осей Ох и Оу

Глава 10. Дифференциальные уравнения.

§1. Уравнения 1-го порядка.

F(x,y,y) = 0 y = f(x,y) (1) (a,b) y = (x) (x) (x,y) = 0

y = (x,C) y = (х,C0) (x,y,C) = 0

§2. Уравнения с разделяющимися переменными.

y = f(x,y) f(x,y) = f1(x)f2(y)

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, M(x,y) = M1(x) M2(y), N(x,y) = N1(x)N2(y)

y = f(ax + by +d), b0 u(x) = ax + by(x) +d u = a + b f(u)

§3. Однородные уравнения.

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 kR: M(tx,ty) = tkM(x,y), N(tx,ty) = tkN(x,y), t0

к однород., « = »  к ур-ям с разд. перем.

§4. Линейные уравнения 1-го порядка.

y = P(x).y + Q(x) Q(x)0 y = P(x).y

1) Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа)

2) Метод подстановки y(x) = u(x).v(x)u = u1(x), v = v(x,C) y(x)

§5. Уравнение Бернулли.

y = P(x).y + Q(x).ym m0, m1

1) Подстановка z = y1-m m>1 y = 0

2) Метод подстановки y(x) = u(x).v(x)

u = u1(x), v = v(x,C) y(x)

§6. Теорема существования и единственности решения.

Задача Коши для уравнения y = f(x,y) начальному условию у(х0) = у0

Теорема 1. (Коши) D Oxy fy(x,y) (x0,y0)D x0h < x < x0 + h

Особое решение y = (x,C)

§7. Дифференциальные уравнения высших порядков.

F(x,y,y,y,…,y(n)) = 0 y(n) = f(x,y,y,…,y(n-1)) (2)

Начальные условия y(x0) = y0, y(x0) = y1,…, y(n-1)(x0) = yn-1 (3)

y = (x,C1, C2,…,Cn)

Теорема 2 (существования и единственности решения задачи Коши)

(2) f(x,y,y,…,y(n-1)) D (x0,y0,y1,…,yn-1)D x0 h < x < x0 +h

§8. Уравнения, допускающие понижение порядка.

а) y(n) = f(x) y = dxdxf(x)dx + Pn-1(x)

б) F(x, y(k),…,y(n)) = 0 y(k) = z(x)

в) F(y, y,…,y(n)) = 0 y = p(y)

г)

§9. Линейные однородные уравнения.

y(n) + a1(x)y(n-1) + … + an-1(x)y + an(x)y = 0 (4)

y1(x) y(x) = y1(x)z(x) (n1)-го порядка

Теорема 3 система функций у1(х), у2(х), … , уn(х) (4) определитель Вронского

Общее решение (4) y0(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + … + Cnyn(x) фундаментальной

§10. Линейные неоднородные уравнения.

y(n) + a1(x)y(n-1) + … + an-1(x)y + an(x)y = f(x) (f(x) 0) (5)

y(x) = y0(x) + y(x) y0(x)- общее решение (4) y(x) - частное решение (5)

Если известны у1(х), у2(х), … , уn(х), то можно найти y(x) методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.

В частности, для уравнения 2-го порядка y + a1(x)y + a2(x)y = f(x) (6)

сначала решают однородное уравнение y + a1(x)y + a2(x)y = 0,

получают фундаментальную систему у1(х), у2(х) и общее решение y0(x) = C1y1(x) + C2y2(x),

затем по методу Лагранжа общее решение (6) ищут в виде y(x) = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x),

где C1(x)иC2(x) находят из системы

, после чего интегрированием находятC1(x)иC2(x)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]