Достаточное условие экстремума.
fC1(U(x0)). Если в (х0 , х0) и (х0, х0 + ) f(х) имеет противоположные знаки, то х0 – т. экстремума, причем если меняется + на , то максимум, если – на +, то минимум.
fC2(U(x0)).Если f(х0)=0, f(х0)<0, то х0 – т. максимума, если f(х0)=0, f(х0)>0, то х0 – т. минимума
Стационарная точка. Критическая точка.
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются или в критических точках или на концах отрезка.
§2. Направление выпуклости. Точки перегиба.
График y = f(x) наз. выпуклым вниз (вогнутым вверх) на (a,b), если дуга кривой выше касательной х(a,b) (например, у = х2)
Теорема 2. Если fC2(a,b), f(х)>0 x(a,b), то график f(x) является выпуклым вниз на (a,b)
f(х) <0 x(a,b), то график f(x) является выпуклым вверх на (a,b)
Точка перегиба.
Необходимое условие перегиба.х0– т. перегибаf(х0)=0 или не существует
Достаточное условие перегиба.
fC2(U(x0)). Если в (х0 , х0) и (х0, х0 + ) f(х) имеет противоположные знаки, то х0 – т. перегиба.
§3. Асимптоты.
Для y = f(x) прямая, расстояние от т. М( x,f(x) ) до этой прямой 0 при бесконечном удалении т.М от начала координат – асимптота графика.
а) Если при этом x a , то полупрямая х = а (y > 0 или y < 0) – вертикальная асимптота.
б) Если при этом x + или x , то график имеет наклонную асимптоту.
Свойства.
1.
вертикальная асимптота
хотя бы один из
.
2. Непрерывные на всей оси функции не имеют вертикальных асимптот.
3.
наклонная асимптота y
= kx
+ b
2 предела:
и
. (пределы могут быть различны при х+
и при х).
При k
= 0 асимптота
горизонтальная.
§4. Общий порядок построения графика.
1. Область определения
2. Симметрия (в случае симметричной О.О.)
Периодичность
Нули (корни) – точки пересечения с осью Ох, точка пересечения с осью Оу.
Промежутки знакопостоянства (где график выше оси, где ниже).
Поведение вблизи точек разрыва (устранимые, 1-го и 2-го рода).
Поведение на бесконечностях (наклонные или горизонтальные асимптоты)
3. Затем, с помощью 1-й производной – интервалы монотонности и точки экстремума.
С помощью 2-й производной – интервалы выпуклости и точки перегиба.
§5. Численное решение уравнений. Метод Ньютона.
Корень x0(a,b) уравнения f(x)= 0 изолирован на [a,b] , если на этом отрезке не содержится других корней этого уравнения. [a,b] – отрезок изоляции корня.
Пусть на отрезке [a,b] изоляции корня уравнения f(x)= 0 выполняются условия
а) f(x), f(x), f(x)C[a,b],
б) f(a).f(b)<0,
в) f(x), f(x) не меняют своего знака.
Метод хорд. Определим числа xn равенствами
(n=1,2,3,…)
xn
x0
(n),
x0
– корень.
Метод касательных (Ньютона). Определим числа xn равенствами
(n=1,2,3,…)
xn
x0
(n),
x0
– корень.
f(x)
= x3
+
2x
– 2. f(0)
= 2,
f(1)
= 1
отрезок изоляции корня [0,1].
f(x)
> 0, f(x)
> 0 на
(0,1)
x0
= 1,
,x1
= 0,8; x2
= 0,7714; x3
= 0,7709, x4
= 0,770917
Метод Ньютона сходится быстрее, чем метод хорд.