§5. Обратная матрица.

А^.В=В^.А

Теорема. Пусть А,В,С – квадратные матрицы, причем А^.В = Е, С^.А = Е. Тогда В = С.

В = Е^.В = (С^.А)^.В = С^.(А^.В) = С^.Е = С

Обратная матрица единственна и обозначается А^-1 А^.А^-1 = А^{-1 .}А = Е

Матричная запись системы

А^.Х = В

Теорема. Если А – квадратная матрица, имеющая обратную А^-1,то линейная система АХ=В имеет единственное решение при любых правых частях ( любом векторе В ) Х=А^{-1 .}В

Опр.Если, то система называется однородной.

Свойство.Однородная система всегда совместна, ее тривиальное решение.

Х1	Х2	У1	У2	Нахождение А-1 методом Жордана-Гаусса
2	5	1	0
1	3	0	1
1	3	0	1
0	1	1	2
1	0	3	5
0	1	1	2

§6. Балансовая модель.

- валовая продукция, - конечная продукция,- внутренние затраты, которые зависят от валовой продукции линейно:z₁=a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n и т.д.

Система уравнений материального баланса имеет вид

Х – АХ = У балансовая модель Леонтьева

- затраты продукции i-й отрасли на изготовление единицы валовой продукции j-й отрасли, коэффициенты прямых затрат – постоянные.

( Е – А )Х = У Продуктивная матрица:

Х = ( Е – А )^-1У = SУ, S – матрица полных затрат

§7. Свойства определителей.

Определитель – число, характеризующее квадратную матрицу.

Для матрицы 1-го порядка определитель

Система сводится к

Для матрицы 2-го порядка определитель

Для матрицы 3-го порядка определитель=

= а₁₁^.а₂₂^.а₃₃ + а₁₂^.а₂₃^.а₃₁ + а₁₃^.а₂₁^.а₃₂ – а₁₃^.а₂₂^.а₃₁ – а₁₂^.а₂₁^.а₃₃ – а₁₁^.а₂₃^.а₃₂

Всевозможные произведения чисел из разных строк и столбцов.

Если из матрицы вычеркнуть строки и столбцы так, что останется квадратная матрица, то ее определитель называется минором.

- минор, получающийся вычеркиванием i–й строки и j–го столбца квадратной матрицы

разложение определителя по 1-й строке.

Алгебраическое дополнение ( квадратной матрицы )

detA = a₁₁ ^. A₁₁ + a₁₂ ^. A₁₂ + …+ a_1n ^. A_1n

Верно разложение по любой другой строке.

Свойства. 1. Независимость строк и столбцов

2. det ( a₁ a₂ …a_i¹ + a_i² … a_n ) = det ( a₁ a₂ …a_i¹ … a_n ) + det ( a₁ a₂ … a_i² … a_n )

3. det ( a₁ a₂ …c^.a_i … a_n ) = c^.det ( a₁ a₂ …a_i … a_n )

4. det ( a₁ a₂ …a_i …a_j … a_n ) =  det ( a₁ a₂ …a_j … a_i … a_n ) - антисимметричность

Следствия.1. Если два столбца ( строки ) определителя совпадают, то он равен нулю.

2. Если два столбца ( строки ) определителя пропорциональны, то он равен нулю.

3. Определитель не меняется, если к элементам одного столбца ( строки ) прибавить числа, пропорциональные элементам другого столбца ( строки ).

Понижение порядка. Если в строке определителя все элементы, кроме одного, равны нулю, то при разложении по этой строке получается определитель меньшего ( на 1 ) порядка.

1. 2.3.4.

Ранг матрицы – наивысший порядок минора, отличного от нуля.

ранг находят методом Гаусса.

Если ранг матрицы системы линейных уравнений меньше ранга ее расширенной матрицы, то система несовместна.