13

Система сходящихся сил

2.1. Приведение системы сходящихся сил к равнодействующей

Силы называются сходящимися, если линии действия всех сил, составляющих систему, пересекаются в одной точке. Простейший случай трех сил был рассмотрен в главе I. Здесь рассматривается общий случай произвольного числа сил, образующих систему.

Существует немало практических задач, которые требуют исследования систем сходящихся сил; в частности, они возникают при расчетах шарнирно-стержневых систем (ферм). Кроме того, изучение системы сходящихся сил необходимо для дальнейших обобщений, относящихся к произвольной пространственной системе сил.

Прежде всего докажем теорему:

Система сходящихся сил эквивалентна одной силе (равнодействующей), которая равна сумме всех этих сил и проходит через точку пересечения их линий действия.

Пусть задана система сходящихся сил , приложенных к абсолютно твердому телу (рис. 2.1 а). Согласно следствию из аксиомы 1 перенесем точки приложения сил по линиям их действия в точку пересечения этих линий (рис. 2.1 б). Таким образом, мы получаем систему сил, приложенных в одной точке. Она эквивалентна исходной системе сходящихся сил. Складывая теперь силы и , на основании аксиомы 3 получим их равнодействующую:

.

Индекс в обозначении равнодействующей соответствует номеру добавляемой силы . Затем, сложив силу с силой , найдем

.

Сила R₃ является равнодействующей трех сил, , и равна их сумме. Дойдя, таким образом, до последней силы , получим равнодействующую всей системы данных сил

. (2.1)

Этим соотношением и доказывается справедливость сформулированной теоремы.

Построение равнодействующей может быть упрощено, если вместо параллелограммов построить силовой многоугольник. Пусть, например,

система состоит из четырех сил (рис. 2.2). Если от конца вектора отложить вектор , то вектор, соединяющий начало и конец вектора , будет вектором . Далее отложим вектор ,

Рис. 2.1.

помещая его начало в конце вектора . Тогда мы получим вектор , идущий от точки к концу вектора . Наконец, точно так же добавим вектор ; при этом получим, что вектор, идущий от начала первого вектора к концу вектора , является равнодействующей .

Пространственный многоугольник, который получен указанным образом, называется силовым многоугольником.

На рис. 2.2 показан разомкнутый силовой многоугольник (конец последней силы не совпадает с началом первой силы); равнодействующая направлена по замыкающей силового многоугольника. Конечно, при практическом построении силового многоугольника промежуточные равнодействующие и т.д. строить не нужно.

Рис. 2.2.

Если для нахождения равнодействующей при помощи силового многоугольника используются правила геометрии или тригонометрии, то такой способ нахождения равнодействующей называется геометрическим способом.

В случае плоской системы сил можно воспользоваться плоским чертежом, откладывая силы в некотором масштабе; равнодействующая определяется непосредственным измерением по чертежу. Такой способ ее нахождения называется графическим.

Наиболее общим способом определения модуля и направления равнодействующей является аналитический способ, который также вытекает из основного соотношения (2.1). Поместим, например, начало прямоугольной системы координат в точку пересечения линий действия сил (см. рис. 2.1); тогда, пользуясь теоремой (она доказывается в курсе векторной алгебры), согласно которой проекция суммы векторов на некоторую ось равна сумме проекций на ту же ось слагаемых векторов, получим

(2.2)

где  – проекции силы на указанные оси, a  – проекции равнодействующей на те же оси.

Итак, проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций этих сил на соответствующие оси.

С помощью выражений (2.2) можно найти модуль равнодействующей и ее направление в прямоугольной системе координат .

Так как составляющие равнодействующей системы сил

, , (2.3)

взаимно перпендикулярны (рис. 2.1), то модуль равнодействующей равен

. (2.4)

Направляющие косинусы равнодействующей соответственно равны

, , . (2.5)

В частном случае, когда все силы расположены в одной плоскости, удобно выбрать систему координат в плоскости расположения сил. Тогда проекции всех сил на ось равны нулю и вместо формул (2.2), (2.4) и (2.5) будем иметь

(2.6)

. (2.7)

, . (2.8)