- •§ 1. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •§ 2. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •§ 3. Вероятностный смысл математического ожидания
- •§ 4. Свойства математического ожидания
- •§ 5. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях
- •§ 1. Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины
- •§ 2. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания
- •§ 3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •§ 4. Формула для вычисления дисперсии
- •§ 5. Свойства дисперсии
- •§ 6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях
- •§ 7. Среднее квадратическое отклонение
- •§ 8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин
- •§ 9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •§ 10. Начальные и центральные теоретические моменты
- •§ 1. Предварительные замечания
- •§ 2. Неравенство Чебышева
- •§ 3. Теорема Чебышева
- •§ 4. Сущность теоремы Чебышева
- •§ 5. Значение теоремы Чебышева для практики
- •§ 6. Теорема Бернулли
- •§ 1. Определение функции распределения
- •§ 2. Свойства функции распределения
- •§ 3. График функции распределения
- •§ 1. Определение плотности распределения
- •§ 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •§ 3. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения
- •§ 4. Свойства плотности распределения
- •§ 5. Вероятностный смысл плотности распределения
- •§ 6. Закон равномерного распределения вероятностей
- •§ 1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •§ 2. Нормальное распределение
- •§ 3. Нормальная кривая
- •§ 4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
- •§ 5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
- •§ 6. Вычисление вероятности заданного отклонения
- •§ 7. Правило трех сигм
- •§ 8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы
- •§ 9. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •§ 10. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
- •§ 11. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
- •§ 12. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения
- •§ 13. Распределение «хи квадрат»
- •§ 14. Распределение Стьюдента
- •§ 15. Распределение f Фишера — Снедекора
- •§ 1. Определение показательного распределения
- •§ 2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины
- •§ 3. Числовые характеристики показательного распределения
- •§ 4. Функция надежности
- •§ 5. Показательный закон надежности
- •§ 6. Характеристическое свойство показательного закона надежности
§ 10. Начальные и центральные теоретические моменты
Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную законом распределения:
-
X
1
2
5
100
p
0,6
0,2
0,19
0,01
Найдем математическое ожидание X:
М(Х)=1*0,6 + 2*0,2 + 5*0,19 +100*0,01 =2,95.
Напишем закон распределения X2:
-
X2
1
4
25
10000
p
0,6
0,2
0,19
0,01
Найдем математическое ожидание Х2:
М(Х2) = 1*0,6 + 4*0,2 + 25*0,19+ 10000*0,01 = 106,15.
Видим, что М (X2) значительно больше М (X). Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины X2, соответствующее значению x =100 величины X, стало равным 10 000, т. е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01).
Таким образом, переход от М (X) к М (X2) позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы величина X имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине X2, а тем более к величинам X3, X4 и т. д., позволил бы еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).
Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины Xk:
vk = M(X).
В частности,
v1 = M(X), v2 = M(X2).
Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии D(X) = M(X2) — [М (X)]2 можно записать так:
D(X)= v2 – . (*)
Кроме моментов случайной величины X целесообразно рассматривать моменты отклонения X—М (X).
Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (Х-М(Х))k:
В частности,
(**)
(***)
Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например, сравнивая (*) и (***), получим
v2 – .
Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы:
v3 – 3 v2 v1+2 ,
v4 – 4 v3 v1 +6 v2 +3 .
Моменты более высоких порядков применяются редко.
Замечание. Моменты, рассмотренные здесь, называют теоретическими. В отличие от теоретических моментов, моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими. Определения эмпирических моментов даны далее (см. гл. XVII, § 2).
Задачи
1. Известны дисперсии двух независимых случайных величин: D(X) = 4, D(Y)=3. Найти дисперсию суммы этих величин.
Отв. 7.
2.Дисперсия случайной величины X равна 5. Найти дисперсию следующих величин: а) X—1; б) —2Х; в) ЗХ + 6.
Отв. а) 5; б) 20; в) 45.
3.Случайная величина X принимает только два значения: +С и —С, каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию этой величины.
Отв. С2.
4.Найти дисперсию случайной величины, зная закон ее распределения
-
X
0,1
2
10
20
P
0,4
0,2
0,15
0,25
Отв. 67,6404.
5.Случайная величина X может принимать два возможных значения: х1 с вероятностью 0,3 и x2 с вероятностью 0,7, причем х2 > х1. Найти x1 и x2, зная, что М(Х) = 2,7 и D(X) =0,21.
Отв. x1 = 2, x2 = 3.
6.Найти дисперсию случайной величины X—числа появлений событий А в двух независимых испытаниях, если М (Х) = 0,8.
Указание. Написать биномиальный закон распределения вероятностей числа появлений события А в двух независимых испытаниях.
Отв. 0,48.
7.Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: р1 = 0,3; р2 = 0,4; p3 = 0,5; р4 = 0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.
Отв. 1,8; 0,94.
8.Найти дисперсию случайной величины X — числа появлений события в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна 0,7.
Отв. 21.
9.Дисперсия случайной величины D(Х) = 6,25. Найти среднее квадратическое отклонение (X).
Отв. 2,5.
10.Случайная величина задана законом распределения
-
X
2
4
8
P
0,1
0,5
0,4
Найти среднее квадратическое отклонение этой величины.
Отв. 2,2.
11.Дсперсия каждой из 9 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.
Отв. 4.
12.Среднее квадратическое отклонение каждой из 16 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно 10. Найти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих величин.
Отв. 2,5.
Глава девятая
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ