- •§ 1. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •§ 2. Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •§ 3. Вероятностный смысл математического ожидания
- •§ 4. Свойства математического ожидания
- •§ 5. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях
- •§ 1. Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины
- •§ 2. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания
- •§ 3. Дисперсия дискретной случайной величины
- •§ 4. Формула для вычисления дисперсии
- •§ 5. Свойства дисперсии
- •§ 6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях
- •§ 7. Среднее квадратическое отклонение
- •§ 8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин
- •§ 9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины
- •§ 10. Начальные и центральные теоретические моменты
- •§ 1. Предварительные замечания
- •§ 2. Неравенство Чебышева
- •§ 3. Теорема Чебышева
- •§ 4. Сущность теоремы Чебышева
- •§ 5. Значение теоремы Чебышева для практики
- •§ 6. Теорема Бернулли
- •§ 1. Определение функции распределения
- •§ 2. Свойства функции распределения
- •§ 3. График функции распределения
- •§ 1. Определение плотности распределения
- •§ 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал
- •§ 3. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения
- •§ 4. Свойства плотности распределения
- •§ 5. Вероятностный смысл плотности распределения
- •§ 6. Закон равномерного распределения вероятностей
- •§ 1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •§ 2. Нормальное распределение
- •§ 3. Нормальная кривая
- •§ 4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
- •§ 5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
- •§ 6. Вычисление вероятности заданного отклонения
- •§ 7. Правило трех сигм
- •§ 8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы
- •§ 9. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •§ 10. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
- •§ 11. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
- •§ 12. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения
- •§ 13. Распределение «хи квадрат»
- •§ 14. Распределение Стьюдента
- •§ 15. Распределение f Фишера — Снедекора
- •§ 1. Определение показательного распределения
- •§ 2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины
- •§ 3. Числовые характеристики показательного распределения
- •§ 4. Функция надежности
- •§ 5. Показательный закон надежности
- •§ 6. Характеристическое свойство показательного закона надежности
§ 9. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс
Эмпирическим называют распределение относительных частот. Эмпирические распределения изучает математическая статистика.
Теоретическим называют распределение вероятностей. Теоретические распределения изучает теория вероятностей. В этом параграфе рассматриваются теоретические распределения.
При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности асимметрию и эксцесс. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному. Наоборот, большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное отклонение от нормального.
Как оценить асимметрию? Можно доказать, что для симметричного распределения (график такого распределения симметричен относительно прямой х = М (X)) каждый центральный момент нечетного порядка равен нулю. Для несимметричных распределений центральные моменты нечетного порядка отличны от нуля. Поэтому любой из этих моментов (кроме момента первого порядка, который равен нулю для любого распределения) может служить для оценки асимметрии; естественно выбрать простейший из них, т. е. момент третьего порядка 3. Однако принять этот момент для оценки асимметрии неудобно потому, что его величина зависит от единиц, в которых измеряется случайная величина. Чтобы устранить этот недостаток, 3 делят на и таким образом получают безразмерную характеристику.
Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:
As=
Асимметрия положительна, если «длинная часть» кривой распределения расположена справа от математического ожидания; асимметрия отрицательна, если «длинная часть» кривой расположена слева от математического ожидания. Практически определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды (точки максимума дифференциальной функции): если «длинная часть» кривой расположена правее моды, то асимметрия положительна (рис. 10, а), если слева — отрицательна (рис. 10, б).
Для оценки «крутости», т. е. большего или меньшего подъема кривой теоретического распределения по сравнению с нормальной кривой, пользуются характеристикой — эксцессом.
Эксцессом теоретического распределения называют характеристику, которая определяется равенством
Ek=()-3.
Для нормального распределения = 3; следовательно, эксцесс равен нулю. Поэтому если эксцесс некоторого распределения отличен от нуля, то кривая этого распределения отличается от нормальной кривой: если эксцесс положительный, то кривая имеет более высокую и «острую» вершину, чем нормальная кривая (рис. 11, а); если эксцесс отрицательный, то сравниваемая кривая имеет более низкую и «плоскую» вершину, чем нормальная кривая (рис. 11,6). При этом предполагается, что нормальное и теоретическое распределения имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии.