§ 13. Распределение «хи квадрат»

Пусть X_i(i = 1, 2, ..., п) — нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение—единице. Тогда сумма квадратов этих величин

распределена по закону («хи квадрат») сk = п степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например ,то число степеней свободы k=n- 1.

Плотность этого распределения

где — гамма-функция; в частности,

(n+1)=n!.

Отсюда видно, что распределение «хи квадрат» определяется одним параметром — числом степеней свободы k.

С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

§ 14. Распределение Стьюдента

Пусть Z—нормальная случайная величина, причем M(Z) = 0, (Z)=1, a V—независимая от Z величина, которая распределена по закону с k степенями свободы. Тогда величина

(*)

имеет распределение, которое называют t-распределением или распределением Стьюдента (псевдоним английского статистика В. Госсета), с k степенями свободы.

Итак, отношение нормированной нормальной величины к квадратному корню из независимой случайной величины, распределенной по закону «хи квадрат» с k степенями свободы, деленной на k, распределено по закону Стьюдента с k степенями свободы.

С возрастанием числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному. Дополнительные сведения об этом распределении приведены далее (см. гл. XVI, § 16).

§ 15. Распределение f Фишера — Снедекора

Если U и V—независимые случайные величины, распределенные по закону со степенями свободы k₁ и k₂, то величина

(*)

имеет распределение, которое называют распределением F Фишера—Снедекора со степенями свободы k₁ и k₂ (иногда его обозначают через V²).

Плотность этого распределения

где

Мы видим, что распределение F определяется двумя параметрами—числами степеней свободы. Дополнительные сведения об этом распределении приведены далее (см. гл. XIX, § 8).

Задачи

1. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, зная ее плотность распределения:

а)при остальных значенияхx;

б) f(x)=1/2l при а — lxa+l, f(x)=0 при остальных значениях х.

Отв. a) М (Х) = 0, D(X) = l/2; б) М(Х) = а, D(X)= l²/3.

2.Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 6 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (4,8).

Отв. 0,6826.

3.Случайная величина распределена нормально. Среднее квадратическое отклонение этой величины равно 0,4. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 0,3.

Отв. 0,5468.

4.Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением =1 мм и математическим ожиданием а = 0. Найти вероятность того, что из двух независимых наблюдений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по абсолютной величине 1,28 мм.

Отв. 0,96.

5. Валики, изготовляемые автоматом, считаются стандартными, если отклонение диаметра валика от проектного размера не превышает 2 мм. Случайные отклонения диаметра валиков подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением  = 1,6 мм и математическим ожиданием а = 0. Сколько процентов стандартных валиков изготовляет автомат?

Отв. Примерно 79%.

6. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X	1	2	3
p	0,2	0,1	0,7

а)

X	-1	1	2
p	0,1	0,2	0,7

б)

Найти закон распределения случайной величины Y=X⁴.

Y	1	16	81
p	0,2	0,1	0,7

Отв.а)

Y	1	16
p	0,3	0,7

б)

7.Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f(x). Найти дифференциальную функцию g(y) случайной величины Y, если:

а) Y = Х+1 ( < х < ); б) Y =2Х (— а < x < а).

Отв. a) g (у) =f (y— 1) ( < y < );

б) g (y) =1/2f(y/2) (— 2а < у < 2а).

8.Независимые дискретные случайные величины заданы следующими законами распределения:

X	2	3	5	Y	1	4
p	0,3	0,5	0,2	p	0,2	0,8

Найти законы распределения функций: a) Z = X+Y; б) Z = XY.

Z	3	4	6	7	9
p	0,06	0,10	0,28	0,40	0,16

Отв. a)

Z	2	3	5	8	12	20
p	0,06	0,10	0,04	0,24	0,40	0,16

б)

9.Независимые случайные величины X и Y заданы плотностями распределений

Найти композицию этих законов, т. е. плотность распределения случайной величины Z = X+Y.

Отв.

Глава тринадцатая

ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ