§ 6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна. Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Дисперсия числа появлений события А в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D(X) = npq.

Доказательство. Рассмотрим случайную величину X — число появлений события А в п независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях:

X = Х₁ + X ₂ + …+ Х_п,

где Х₁ — число наступлений события в первом испытании, Х₂ — во втором, ..., Х_п— в п-м.

Величины Х₁, Х₂, ..., Х_п взаимно независимы, так как исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому мы вправе воспользоваться следствием 1 (см. § 5):

D(X) = D (X₁) + D (X₂)+ ...+D (Х_п). (*)

Вычислим дисперсию X₁ по формуле

D(X₁)=M()-[M(X₁)]². (**)

Величина Х₁—число появлений события А в первом испытании, поэтому (см. гл. VII, § 2, пример 2) М (Х₁)=р.

Найдем математическое ожидание величины , которая может принимать только два значения, а именно: 1² c вероятностью р и О² с вероятностью q:

M()=1²*p+0²*q=p.

Подставляя найденные результаты в соотношение (**), имеем

D(X₁)=p-p²=p(1-p)=pq

Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равна pq. Заменив каждое слагаемое правой части (*) через pq, окончательно получим

D(X) = npq.

Замечание. Так как величина X распределена по биномиальному закону, то доказанную теорему можно сформулировать и так: дисперсия биномиального распределения с параметрами п и р равна произведению npq.

Пример. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X—числа появлений события в этих испытаниях.

Решение. По условию, n =10, р = 0,6. Очевидно, вероятность непоявления события

q =1—0,6 = 0,4.

Искомая дисперсия

D(X) = npq = 10 • 0,6• 0,4 = 2,4.

§ 7. Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

X

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность  (X) совпадает с размерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию. Например, если X выражается в линейных метрах, то а (X) будет выражаться также в линейных метрах, a D (X) — в квадратных метрах.

Пример. Случайная величина X задана законом распределения

X	2	3	10
p	0,1	0,4	0,5

Найти среднее квадратическое отклонение  (X).

Решение. Найдем математическое ожидание X:

М (Х) = 2*0,1 +3*0,4+10*0,5 = 6,4.

Найдем математическое ожидание X²:

М (Х²) = 2²*0,1+3²*0,4+10²*0,5 = 54.

Найдем дисперсию:

D (X) = М (X²) — [М (X)]² = 54 — 6,4² = 13,04.

Искомое среднее квадратическое отклонение

X