§ 3. Нормальная кривая
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). Исследуем функцию
y=
методами дифференциального исчисления.
1. Очевидно, функция определена на всей оси х.
2. При всех значениях х функция принимает положительные значения, т. е. нормальная кривая расположена над осью Ох.
3. Предел функции
при неограниченном возрастании х
(по абсолютной
величине) равен нулю:
,
т. е. ось Ох
служит
горизонтальной асимптотой графика.
4.Исследуем функцию на экстремум. Найдем первую производную:
Легко видеть, что у' = 0 при х = а, у' > 0 при х < а, у' < 0 при х> а.
Следовательно,
при х = а
функция
имеет максимум, равный
5.Разность х—а содержится в аналитическом выражении функции в
квадрате, т. е. график функции симметричен относительно прямой х= а.
6.Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:
Легко видеть, что
при х = а+
и х=
а—
вторая производная равна нулю, а при
переходе через эти точки она
меняет знак
(в обеих этих точках значение функции
равно 1/(
e)).
Таким образом,
точки графика (а—,
1/(
e))
и (а
+ ,
1/(
e))
являются
точками перегиба.
На рис. 7 изображена нормальная кривая при а=1, 2
§ 4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой
Выясним, как влияют на форму и расположение нормальной кривой значения параметров а и .
Известно, что графики функций f (х) и f (х—а) имеют одинаковую форму; сдвинув график f (х) в положительном направлении оси х на а единиц масштаба при а >0 или в отрицательном направлении при а < 0, получим график f(х—а). Отсюда следует, что изменение величины параметра а (математического ожидания) не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ох: вправо, если а подрастает, и влево, если а убывает.
По-иному обстоит
дело, если изменяется параметр
(среднее
квадратическое отклонение). Как было
указано в предыдущем параграфе, максимум
дифференциальной функции нормального
распределения равен 1/(
).
Отсюда следует, что с
возрастанием
максимальная ордината нормальной кривой
убывает, а сама кривая становится более
пологой, т. е. сжимается к оси Ох; при
убывании
нормальная кривая становится более
«островершинной» и растягивается в
положительном направлении оси Оу.
Подчеркнем, что при любых значениях параметров а и площадь, ограниченная нормальной кривой и осью х, остается равной единице (см. гл. XI, § 4, второе свойство плотности распределения).
На рис. 8 изображены нормальные кривые при различных значениях и а = 0. Чертеж наглядно иллюстрирует, как изменение параметра сказывается на форме нормальной кривой.
Заметим, что при
а = О
и
= 1 нормальную
кривую
называютнормированной.
§ 5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины
Уже известно, что если случайная величина X задана плотностью распределения f (х), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (), такова:
P(X)=
Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (), равна
P(X)=
Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную z = (x—а)/. Отсюда x = z+a, dx = dz . Найдем новые пределы интегрирования. Если х= , то z=( a)/; если х = , то z = (а)/.
Таким образом, имеем
Пользуясь функцией Лапласа
окончательно получим
(*)
Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность, того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).
Решение. Воспользуемся формулой (*). По условию, =10, =50, а = 30, =10, следовательно,
P(10<X<50)=
По таблице приложения 2 находим Ф (2) = 0,4772. Отсюда искомая вероятность
Р(10< X < 50) =2*0,4772 = 0,9544.