§ 1. Предварительные замечания

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли (имеются и другие теоремы, которые здесь не рассматриваются). Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли—простейшим. Для доказательства этих теорем мы воспользуемся неравенством Чебышева.

§ 2. Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин. Для простоты ограничимся доказательством этого неравенства для дискретных величин.

Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную таблицей распределения:

X	x1	X2	…	xn
p	p1	P2	…	pn

Поставим перед собой задачу оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа . Если  достаточно мало, то мы оценим, таким образом, вероятность того, что X примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию. П. Л. Чебышев доказал неравенство, позволяющее дать интересующую нас оценку.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше, чем 1—D (Х)/ ²:

Р(|Х —М(Х)|< ) 1—D(X)/².

Доказательство. Так как события, состоящие в осуществлении неравенств |Х—М(Х)|<и|Х—М(Х)|, противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.

Р(|Х —М(Х)|< )+ Р(|Х —М(Х)|)= 1.

Отсюда интересующая нас вероятность

Р(|Х —М(Х)|< )=1- Р(|Х —М(Х)|). (*)

Таким образом, задача сводится к вычислению вероятности Р (| Х—М(Х) | ).

Напишем выражение дисперсии случайной величины X:

D(X)=[x₁ -M(X)]²p₁+[x₂ -M(X)]²p₂+…+[x_n -M(X)]2p_n.

Очевидно, все слагаемые этой суммы неотрицательны.

Отбросим те слагаемые, у которых |x_i—M(Х)|< (для оставшихся слагаемых |x_j—M(Х)|), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,

D (X)[x_k+1-M (Х)]² p_k+1 + [x_k+2-M (X)]² p_k+z+ ... +[x_n-M(X)]²p_n.

Заметим, что обе части неравенства |x_j — М (Х)|  (j = k+1, k + 2, ..., п) положительны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство |x_j — М (Х)|²^ Воспользуемся этим замечанием и, заменяя в оставшейся сумме каждый из множителей |x_j — М (Х)|² числом ^ (при этом неравенство может лишь усилиться), получим

D (X) ^ (р_к+1 + p_k+2 + … + р_n). (**)

По теореме сложения, сумма вероятностей р_к+1 + p_k+2 + … + р_n есть вероятность того, что X примет одно, безразлично какое, из значений x_k+1, х_к+2,....х_п, а при любом из них отклонение удовлетворяет неравенству |x_j — М (Х)|  Отсюда следует, что сумма р_к+1 + p_k+2 + … + р_n выражает вероятность

P(|X — М (Х)| 

Это соображение позволяет переписать неравенство (**) так:

D(X) ^ P(|X — М (Х)|  ,

или

P(|X — М (Х)|  D(X) / ² (***)

Подставляя (***) в (*), окончательно получим

P(|X — М (Х)| < 1- D(X) / ²,

что и требовалось доказать.

Замечание. Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Например, если D(X)>² и, следовательно, D(X)/²>1, то 1— D (Х)/² < 0; таким образом, в этом случае неравенство Чебышева указывает лишь на то, что вероятность отклонения неотрицательна, а это и без того очевидно, так как любая вероятность выражается неотрицательным числом.

Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико. Ниже мы воспользуемся этим неравенством для вывода теоремы Чебышева.