|
II. ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ |
||||
|
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ |
||||
A - |
амплитуда колебания |
v - |
скорость |
||
A0 - |
начальная амплитуда |
x, y - |
координата, смещение |
||
. |
|
|
|||
B - |
амплитуда колебания |
|
скорость |
||
x - |
|
||||
F0 - |
модуль вынуждающей силы |
. |
- |
амплитуда скорости |
|
xm |
|||||
ƒ0 - |
амплитуда вынуждающей си- |
.. |
|
ускорение |
|
x - |
|
||||
|
лы |
.. |
|
|
|
g - |
ускорение свободного паде- |
- |
амплитуда ускорения |
||
xm |
|||||
k - |
ния |
|
|
|
|
константа квазиупругой силы |
α - |
угол |
|||
l - |
длина |
α0 - |
начальная фаза колебания |
||
m - |
масса |
β - |
|
коэффициент затухания |
|
N - |
число колебаний |
λ - |
|
логарифмический декремент |
|
r - |
|
|
|
затухания |
|
коэффициент сопротивления |
∆ω - |
разность частот |
|||
Т - |
период |
ω - |
циклическая частота |
||
t - |
время |
ω0 - |
собственная частота колебания |
||
15
ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1.Какое из приведенных ниже утверждений есть определение гармонического колебательного движения?
а) движение, вызванное внешней периодически изменяющейся силой;
б) движение, при котором периодически повторяются значения физических величин, определяющих это движение; в) движение, при котором смещение от положения равновесия со временем меняется по закону синуса или косинуса;
г) движение, при котором все точки тела движутся по окружностям с центрами, лежащими на одной прямой.
2. Зависимость координаты x от времени t имеет вид: 1) x = 4 sin(ωt - π/6); 2) x = А sin2ωt; 3) x = Аt sinωt; 4) x = А1 cos(ωt + α) + А2 cosωt;
5) x = А sin3ωt. Какие из зависимостей описывают гармонические колебания?
а) 1; |
б) 2, 3; |
в) 1, 4; |
г) 3, 4; |
д) 5. |
3.Какой из графиков, приведенных на рисунках, описывает зависимость от времени смещения точки от положения равновесия для гармонического колебательного движения?
x |
|
x |
О |
t |
О |
|
t |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
x |
|
x |
О |
|
t |
О |
t |
|
|
|
||
|
3 |
|
|
4 |
а) 1; |
б) 1, 2; |
в) 2, 3; |
г) 3, 4; |
д) 1, 4. |
4.Задано уравнение гармонических колебаний: x=Acos(2πt/T + α0). Какое из нижеприведенных выражений представляет фазу этих колебаний?
а) 2πt/T; |
б) α0; |
в) 2π/T; |
г) (2πt/T + α0); |
д) cos(2πt/T + α0). |
|
|
16 |
|
5.Что называется амплитудой гармонических колебаний?
a)смещение тела от положения равновесия в данный момент времени; б) расстояние между точками, колеблющимися в одинаковых фазах; в) расстояние между точками, колеблющимися в противоположных
фазах; г) максимальное смещение тела от положения равновесия.
6.Написать уравнение гармонического колебания, если известны его параметры: амплитуда колебаний 5 см, циклическая частота 2π с–1, начальная фаза π/4.
а) x = 5cos2π/Т(t + π/4); |
б) x = 5cos2π(t + π/4); |
в) x = 5cos(2πt + π/4); |
г) x = 5cos(2πt/T + π/4). |
7.Уравнение колебаний имеет вид: x = Аsin(ωt + α). Какой из приведенных ниже графиков представляет зависимость скорости от времени, при ус-
ловии, что α = 0.
V |
|
V |
|
О |
t |
О |
|
t |
|||
|
V |
1 |
V |
2 |
|
|
О |
t |
О |
t |
|
|
3 |
|
4 |
а) 1; |
б) 2; |
в) 3; |
г) 4. |
8.Какова начальная фаза гармонического колебания x = Asin(ω0t + α), зависимость смещения которого от положения равновесия изображена на рисунке?
x |
A0 |
О 
t
а) 0; |
б) |
π |
π |
π |
|
/2; |
в) /3; |
г) /6. |
17
9.Колебательное движение описывается уравнением x = Acos(ω0t + α). Установите соответствие между энергией колебания и ее математическим выражением.
|
|
|
Энергия колебаний |
|
|
|
Математическое |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
выражение |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) кинетическая энергия колебаний |
|
|
|
1) mA2ω02 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
б) потенциальная энергия колебаний |
2) |
kA2 |
|
|||||||||
4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) полная энергия колебаний |
|
|
|
3) mA2ω02 sin2(ω0t + α) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
г) средняя энергия колебаний |
|
|
|
|
kA2 |
|
||||||
|
|
|
4) |
2 |
(ω0t + α) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos |
|||
а) ; |
б) ; |
в) ; |
|
г) . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.Какие из приведенных зависимостей координаты x от времени t не описывают гармоническое колебательное движение?
1) x = Аsin(ωt – π/6); |
2) x = А1cos(ωt + α) + А2cosωt; |
|
||
3) x = (2Аcos |
∆ω |
|
|
|
2 t) cosωt; |
4) x = А1cosω1t + А2cosω2t; |
|
||
5) x = А0e–βt·cos(ωt + α). |
|
|
|
|
а) 1; |
б) 2; |
в) 3; |
г) 4; |
д) 5. |
11.Уравнение незатухающих колебаний имеет вид: x = Acos(ω0t + α). Приведите в соответствие закону изменения физической величины от времени математическое выражение.
|
|
Закон изменения |
|
|
|
Математическое |
|||||
|
|
|
|
|
выражение |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) силы |
|
|
|
|
|
1) – Aω02 cos(ω0t + α) |
|||||
б) смещения |
|
|
|
2) |
– Aω0 sin(ω0t + α) |
||||||
в) скорости |
|
|
|
3) |
Acos(ω0t + α) |
||||||
г) ускорения |
|
|
|
4) |
– mω02 Acos(ω0t + α) |
||||||
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.Какое из приведенных ниже выражений определяет полную энергию затухающих колебаний?
а) |
mA2ω02 |
б) |
kA2 |
–2βt |
; |
в) |
kA2 |
–βt |
; |
г) |
kA2 |
|
2 |
; |
2 e |
|
2 e |
4 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
13. Что обозначает величина l в выражении периода колебаний физическо-
го маятника T = 2π |
I |
? |
mgl |
a) расстояние от оси вращения до центра тяжести тела; б) приведенную длину физического маятника; в) расстояние от оси вращения до точки качания;
г) расстояние между центром тяжести и точкой качания.
14.Из трех гармонических одинаково направленных колебаний с равными амплитудами и частотами, но различными начальными фазами:
1) 2π/3, 2) 11π/3; 3) 14π/3; отобрать пары таких колебаний, которые при сложении гасят друг друга.
а) 1 и 2; |
б) 1 и 3; |
в) 2 и 3. |
15.При какой разности фаз: 1) π/3, 2) π/2, 3) π, 4) π/4 в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами получается линейное колебание.
а) 1; |
б) 2; |
в) 3; |
г) 4. |
16.Какова траектория движения точки, одновременно участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях вида: x = Аsinωt и y = Вcosωt.
а) прямая линия; б) окружность; в) парабола; |
г) эллипс. |
17.Из трех гармонических одинаково направленных колебаний с равными амплитудами и частотами, но различными начальными фазами:
1) π/2, 2) 3π/2; 3) 5π/2 отобрать пары таких колебаний, которые при сложении дадут максимальную амплитуду.
а) 1 и 2; |
б) 1 и 3; |
в) 2 и 3. |
18.Установите соответствие между видом колебательного движения и уравнением, описывающим данный колебательный процесс.
|
|
|
Колебательный процесс |
|
|
|
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) свободные незатухающие колебания |
|
1) x = А0e |
–βt |
|
|
ω |
α |
) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
·cos( t + |
|
|
|
|
|
|
||||||
б) свободные затухающие колебания |
|
2) x = Аcos |
ω |
y = Вcos |
ω |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t, |
|
t |
|
|
|
|||||||
в) вынужденные колебания |
|
|
|
|
|
|
ω |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3) x = Аcos ( |
t + ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) параметрические колебания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2βω |
|
|
||||||||
|
|
4) x = Аcos |
ωt – arctg |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ω0 |
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– ω |
|
|||||
а) ; |
б) ; |
в) |
; |
|
|
|
|
г) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19.Какое из приведенных ниже выражений дает значение логарифмического декремента затухания?
а) k/m; |
б) r/2m; |
в) |
β |
T; |
π ω |
д) |
β |
t. |
|
|
|
г) 2 / ; |
|
20.Для рассматриваемых случаев установите соответствие между периодом
иего математическим выражением.
|
|
|
|
|
|
Период |
|
|
|
Математическое |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражение |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) период колебания математического маятника 1) T = |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∆ω |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) период колебания физического маятника |
2) |
T = |
|
|
|
2π |
|
|
|
|
||||||||||||
|
ω02 – β2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) период незатухающих колебаний |
|
|
|
3) |
T = 2π |
l |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
g |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) период затухающих колебаний |
|
|
|
4) |
T = 2π |
m |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
д) период биений |
|
|
|
|
|
|
5) |
T = 2π |
|
I |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
mgl |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) ; |
|
|
д) . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21.Приведите в соответствие колебательным процессам дифференциальные уравнения.
Колебательный процесс а) незатухающие колебания б) затухающие колебания в) вынужденные колебания
а) ; |
б) ; |
||||
|
|
|
|
|
|
Дифференциальное
|
уравнение |
.. |
. |
1) mx |
= – kx – rx |
.. |
. |
2) mx |
= – kx – rx + F0cosωt |
..
3) mx = – kx
в) .
22.Установите правильную последовательность в изменении периода Т для свободных колебаний, совершаемых в среде с коэффициентом за-
тухания β, равным: 1) β = 0, 2) β << ω0, 3) β = ω0, 4) β > ω0.
а) T1>T2> T3>T4; б) T1 ≈T2>T3>T4; в) T1 ≈T2<T3<T4; г) T1 ≈T2<<T3≈T4.
20
23.Приведите в соответствие физические величины их математическим выражениям.
|
|
|
Физическая величина |
|
|
|
Математическое |
|||||||
|
|
|
|
|
|
выражение |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
а) декремент затухания |
|
|
|
1) |
|
π |
|||||||
|
|
|
|
|
λ |
|||||||||
|
б) время релаксации |
|
|
|
2) |
2β |
||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
||||||||
|
|
в) добротность |
|
|
|
3) |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
β |
||||||||
|
|
г) коэффициент сопротивления |
4) |
βT |
||||||||||
а) ; |
б) ; |
в) ; |
г) . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24.Установите соответствие между амплитудой и ее математическим выражением.
Амплитуда
а) незатухающих колебаний
б) затухающих колебаний в) вынужденных колебаний
а) ; |
б) ; |
||||
|
|
|
|
|
|
Математическое
выражение
1) A = |
f0 |
(ω02 – ω2)2 + 4β2ω2 |
2)A0 e–βt., β = 0
3)A0 e–βt., β > 0
в) .
25.Какое из приведенных ниже выражений определяет резонансную амплитуду?
|
f0 |
|
F0/m |
в) |
f0 |
|
|
f0 |
||
а) |
|
, |
б) |
2βω0, |
|
, |
г) |
|
. |
|
2βω0 |
(ω02 – ω2)2 + 4β2ω2 |
2β ω02 – β2 |
||||||||
26.Какое из приведенных ниже выражений определяет резонансную частоту?
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
k |
|
2π |
|
а) ω0 |
– 2β |
; |
б) ω0 |
– β |
; |
в) |
|
; |
г) |
ω0. |
m |
||||||||||
27.Уравнение гармонических колебаний имеет вид x = 5cos(πt/4 + π/2) cм. Чему равен период этого колебания?
а) 0,25 с; |
б) π/4 c; |
в) 1/8 с; |
г) 4 с; |
д) 8 с. |
21
28.Система выведена из положения равновесия и предоставлена самой себе. Какой будет вид зависимости x = ƒ(t) для случая β > ω0?
x |
x |
x |
t |
t |
t |
а) |
б) |
в) |
29.Установите правильную последовательность в изменении β для резонансных кривых, изображенных на рисунке.
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
3 |
|
|
F0/k |
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
ωрез |
ω |
ω |
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
а) β1 > β2 > β3; |
б) β1 > β2 < β3; |
|
в) β1 < β2 > β3; |
г) β1 < β2 < β3. |
||||
30.Уравнение гармонических колебаний имеет вид x = 0,2cos5t м. Каково амплитудное значение скорости этого тела?
а) 0,2 м/с; |
б) 0,5 м/с; |
в) 1 м/с; |
г) 50 м/с; |
д) 12 м/с. |
31.Какую длину должен иметь математический маятник, чтобы период его колебаний был равен 2 с (g = 10 м/с )?
а) 0,25 м; |
б) 0,5 м; |
в) 1 м; |
г) 2 м; |
д) 4 м. |
32.Задано уравнение колебаний x=2e-0,1t sin(5πt + π/6) см. Чему равен логарифмический декремент затухания?
а) 0,04; |
б) 0,1; |
в) 0,2; |
г) 0,5π; |
д) 10π. |
22
33.На рисунке представлен график смещения x точки из положения равновесия в зависимости от времени t. Чему равен логарифм отношения ам-
плитуд lnA0 (где N – число полных колебаний).
AN
х |
|
|
А0 |
A2 |
A4 |
|
||
О |
|
t |
|
|
|
|
A1 |
A5 |
|
A3 |
а) βT; |
б) NβT; |
βT |
|
г) (βT) |
N |
. |
в) N |
; |
|
||||
|
|
|
|
|
23