Конспект_ИЭЭ_14

150

Подставим выражения для r и dl в выражение для dEx:

Предельные случаи

3.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля

Элементарный поток

ческого поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охваченной этой поверхностью, делённой на ε0:

47 Если поверхность S не замкнута, то выбор одного из двух направлений нормали произволен, при этом направление нормали для всех участков dS должно быть одинаковым.

151

Доказательство48 (вывод из закона Кулона)

Рассмотрим точечный заряд q и его электрическое поле. Окружим заряд произвольной замкнутой поверхностью S (РИС. 19.6А). По закону Кулона напряжённость электрического поля точечного заряда

S

б

Рис. 19.6

Телесный угол, под которым из точки, где находится заряд q, видна площадка dS

(см. РИС. 19.6Б). Выразим элементарны й поток через телесный угол:

dΦ qdΩ .

4πε0

Проинтегрируем по полному телесному углу:

Мы доказали теорему для случая одного точечного заряда. Обобщение на случай произвольной системы зарядов проводится по принципу суперпозиции полей:

48 Мы строим курс, постулируя уравнения Максвелла. Это доказательство даётся для того, чтобы продемонстрировать связь уравнений Максвелла с эмпирическими законами электромагнетизма:

в данном случае – III уравнения Максвелла (теорема Остроградского-Гаусса для E ) и закона Кулона, и не входит в экзаменационную программу.

152

Рассмотрим примеры расчёта полей с использованием теоремы ОстроградскогоГаусса для E . Эта теорема полезна в том случае, когда можно выбрать замкнутую поверхность так, чтобы легко было вычислить поток E . Прежде чем решать зада-

чу с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, нужно найти направление E методом суперпозиций.

ПРИМЕРЫ

1) Электрическое поле равномерно заряженной сферы

49 Здесь и далее в подобных примерах мы находим именно проекцию векторного поля на указанное направление – величину, которая содержит информацию и о модуле, и о направлении векторного поля. В зависимости от знака заряда проекция напряжённости электрического поля может быть как положительной, так и отрицательной.

153

Выберем поверхность SI в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфере (РИС. 19.7). В каждой точке этой поверхности (например, в точке A на рисунке)

II. r < R

Теорема Остроградского-Гаусса:

Выберем поверхность SII в виде сферы радиуса r, концентричной заряженной сфе-

ре (РИС. 19.7). Направления EII и dSII показаны на рисунке. Поток напряжённости электрического поля, аналогично выражению для области I,

так как заряды внутрь поверхности SII не попадают. Поэтому

EIIr 0 .

График зависимости Er(r) представлен на РИС. 19.8.

При r = R график Er(r) терпит разрыв, так как на поверхности r = R сосредоточены свободные заряды. Разрывы конечной величины на графиках можно соединять сплошной линией.

154

Er

Рис. 19.8

2) Электрическое поле равномерно заряженной бесконечно длинной тонкой прямой нити

Выберем поверхность интегрирования в виде цилиндра радиуса r (r – расстояние от нити до точки, где измеряется поле – точка A на РИС. 19.9) и произвольной вы-

соты h, ось которого совпадает с нитью. Напряжённость электрического поля направлена радиально и зависит только от r. Векторы внешней нормали направ-

Er dSбок Er Sбок Er 2πrh.

Sбок

Заряд, охваченный поверхностью S,

q S τh

– заряд участка нити длиной h. Получим

156

Лекция 20

3.2.3. Поток векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса для напряжённости электрического поля (продолжение)

3) Электрическое поле равномерно заряженной плоскости

Плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью σ. Найти зависимость напряжённости электрического поля от расстояния от плоскости: Ex(x).

σ

C

B A

S

Рис. 20.1

Распределение заряда имеет плоскую симметрию. Теорема Остроградского-Гаусса

ната точки, где измеряется поле, – точки A на РИС. 20.1) и произвольного сечения Sторц, расположенного симметрично относительно заряженной плоскости. Напряжённость электрического поля направлена перпендикулярно плоскости и может зависеть только от x. Векторы внешней нормали направлены: для боковой по-

2E dSторц 2ESторц .

Sторц

Заряд, охваченный поверхностью S,

q S σSторц

– заряд участка плоскости площадью Sторц. Получим

157

По каждую сторону от заряженной плоскости поле однородно. График зависимости Ex(x) представлен на РИС. 20.2.

Ex

Рис. 20.2

Демонстрация: Сетка Кольбе

3.2.4. Потенциал

I уравнение Максвелла для электростатического поля

Умножим это уравнение на пробный заряд q0:

– работа электростатического поля по перемещению пробного заряда по произвольной замкнутой траектории равна нулю. Это означает, что электростатиче-

ское поле потенциально (см. РАЗДЕЛ 1.8.4).

[Можно прийти к этому выводу по-другому: кулоновская сила центральна, а поле центральных сил потенциально (см. 1.8.4).]

Потенциальная энергия заряженной частицы в электростатическом поле равна работе внешних сил при перемещении этой частицы из точки, где потенциальная энергия принята равной нулю, в данную точку, или работе поля при этом перемещении:

Wп Aполя A* .

Потенциальная энергия – характеристика и поля, и заряда:

50 Эта формула справедлива при σ > 0. Для σ < 0 знак σ нужно изменить на противоположный.

158

Эта величина определяется с точностью до произвольной постоянной. Физиче-

ский смысл имеет разность потенциалов

– работа поля по перемещению пробного заряда из начального положения в конечное, отнесённая к модулю этого заряда и взятая с обратным знаком, или работа внешних сил при том же перемещении, отнесённая к модулю пробного заряда.

Связь напряжённости и потенциала электростатического поля

Работа электростатического поля при перемещению пробного заряда из точки 1 в точку 2

интегрирование проводится по произвольной кривой, соединяющей точки 1 и 2.

Интегральная связь напряжённости и потенциала электростатического поля

– потенциал поля в точке 1. Элементарная работа поля

δAполя F1dl q0Edl ;

элементарное приращение потенциала

– дифференциальная связь напряжённости и потенциала электростатиче-

Эквипотенциальная поверхность – геометрическое место точек, потенциал которых одинаков.

рен эквипотенциальным поверхностям.

ПРИМЕР

Принцип суперпозиции (в применении к потенциалу): потенциал электростатического поля системы заряженных тел равен сумме потенциалов полей, создаваемых каждым из этих тел по отдельности:

Доказательство

Имеем систему N заряженных тел. По принципу суперпозиции напряжённость электрического поля

E Ei .

Интегральная связь напряжённости и потенциала для поля в точке A

Любую систему заряженных тел можно разбить на точечные заряды и найти потенциал по методу суперпозиций. Таким образом проще рассчитать потенциал, чем напряжённость электрического поля, так как потенциал – скалярная величина, а напряжённость – векторная.