Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4607 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Конспект_ИЭЭ_14

.pdf
Скачиваний:
94
Добавлен:
31.03.2015
Размер:
10.55 Mб
Скачать
☆

200

ной индукции будет перпендикулярен радиусу, проведённому из центра тороида в точку A, где измеряется поле, модуль магнитной индукции будет зависеть толь-

ко от r. Применим теорему о циркуляции

B

 

L

 

0

 

 

Bdl μ

 

I

 

L

 

 

 

 

.

Выберем контур интегрирования L в виде окружности

радиуса r с центром в центре тороида. Циркуляция

B

по контуру L

 

 

Bdl

 

Bdlcos0

B

 

dl B

2πr .

 

 

 

L

 

L

 

 

 

L

 

 

 

Сцепленный с контуром L ток

 

 

 

 

 

 

 

I

L

NI .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B2πr μ0NI B

μ NI

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πr

 

при R1 < r < R2.

График зависимости B(r) представлен на РИС. 24.11.

B

I

L

 

O

R1

A

r

R2

 

 

Рис. 24.10

0

R1

R2

x

Рис. 24.11

Предельный случай

При R1 ≈ R2 ≈ R (тонкий тороид)

B

μ0NI μ nI ,

(24.4)

 

2πR

0

 

 

 

 

где n 2NπR – плотность намотки тороида. Формула (24.4) совпадает с (24.3) – ин-

дукцией магнитного поля длинного соленоида.

201

Лекция 25

3.7.3. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитной индукции

Теорема Остроградского-Гаусса для

B

: поток вектора магнитной индукции

 

сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

BdS

S

0

.

Поток вектора магнитной индукции

Φ BdS S

–магнитный поток

;[Φ] = Вб (вебер).

Поток магнитной индукции сквозь незамкнутую поверхность не зависит от формы этой поверхностью, а зависит только от ограничивающего её контура.

Доказательство

S1 L

S2

Рис. 25.1

Пусть на контур L натянуты две поверхности S1 и S2 (РИС. 25.1). Составная поверхность S1 + S2 – замкнутая. По

теореме Остроградского-Гаусса для B

 

 

 

 

 

BdS 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

S

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

При вычислении потока по замкнутой поверхности

dS

–

внешняя нормаль. Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

BdS

BdS1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BdS2 .

 

 

S

S

2

 

S

1

 

S

2

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

При расчёте же магнитного потока сквозь незамкнутые поверхности направление

нормали выбирается по правилу правого винта,

соответственно, нормали dS1 и

dS2

 

. Из этого следует, что

будут направлены в одну сторону; dS2 dS2

 

BdS1

 

 

BdS2

0

 

 

BdS1

 

 

BdS2

0

, ч. т. д.

 

 

 

 

 

 

 

 

S

1

 

 

S

2

 

 

 

S

1

 

 

S

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРИМЕР

Поток однородного магнитного поля сквозь полусферу

S

S′ α R

O

Рис. 25.2

Найти поток однородного магнитного поля с индук-

цией B сквозь полусферу радиуса R, при том что силовые линии магнитного поля направлены под углом α к нормали к основанию полусферы (РИС. 25.2).

Полусфера S натянута на окружность радиуса R с центром в центре полусферы – точке O. На ту же окружность натянуто и плоское основание S′. Следовательно, магнитные потоки сквози поверхности S и S′ равны:

 

BdS

 

 

 

cosα Bcosα dS

 

 

Φ Φ

 

BdS

 

 

S

 

 

S

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BS cosα πR2Bcosα.

202

3.7.4. Векторный потенциал

Ротор – векторная функция векторного аргумента – векторное произведение

оператора векторного дифференцирования

 

на векторную функцию

 

 

 

 

 

 

 

rot B ,B

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В декартовых координатах

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

j

 

k

 

rot B

 

 

 

 

.

x

y

 

z

 

 

 

 

 

 

B

x

B

y

 

B

z

 

 

 

 

 

 

 

 

Ротор вектора всегда перпендикулярен этому вектору.

Из теоремы о циркуляции

B

в интегральной форме

 

0

 

 

 

Bdl μ

 

jdS

L

 

S

 

( j – плотность тока) следует, что

 

 

 

rot B μ

j

 

 

 

 

0

 

 

– теорема о циркуляции

B

в дифференциальной форме.

 

(25.1)

Векторный потенциал A – векторная величина – энергетическая характеристика магнитного поля – такая, что

 

rot A B

,

 

 

причём

 

 

 

 

 

div A 0

;

 

 

[A] = Тл·м.

(25.2)

Подставим определение (25.2) в теорему о циркуляции

rotrot A μ0 j .

B

(25.1):

Преобразуем левую часть этого равенства по известной формуле двойного векторного произведения:

rot rot

A A

A A

 

 

 

0

2 A μ0 j

 

2

A ,

 

 

(25.3)

В декартовых координатах:

 

 

2

A2x

 

2

A2x

 

2

Ax

 

μ0 jx ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

μ j

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

y

 

 

 

 

 

y

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2

z2

0

y

 

 

2 A

 

 

2 A

 

 

 

2 A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

z

 

 

 

 

 

z

 

 

μ j

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

y2

 

 

 

z2

 

 

 

0 z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

203

Это три независимых дифференциальных уравнения второго порядка в частных производных. Поэтому при известном распределении плотности тока в некоторых случаях удобнее решить эти уравнения по отдельности и найти все компоненты векторного потенциала, а затем по определению (25.2), проведя дифференцирование, найти магнитную индукцию.

Выражение, подобное (25.3), можно получить и для электрической компоненты электромагнитного поля:

E φ,

 

ρ

 

E

 

ε

 

 

 

 

 

0

2

ρ

φ

ε

 

 

0

(напоминаем, что φ – потенциал, ρ – объёмная плотность заряда). Единая энергетическая характеристика электромагнитного поля:

 

icφ

 

 

A

 

 

 

 

 

 

A

x

A

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

z

– 4-потенциал.

Методы расчёта магнитной индукции

метод суперпозиций

теорема о циркуляции

через

3.8. Действие магнитного поля на движущиеся заряды

3.8.1. Движение точечного заряда в магнитном поле

Магнитная составляющая электромагнитного поля действует на точечный заряд

q, движущийся со скоростью

v

, с силой

F

q vB

2

 

 

– сила Лоренца (магнитная составляющая) (см. РАЗДЕЛ 3.1.3).

Магнитная составляющая силы Лоренца всегда перпендикулярна скорости частицы. По этой причине магнитное поле не совершает работы.

ПРИМЕР

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле

Частица массы m, имеющая заряд q > 0, влетает со скоростью v в область про-

странства,

где имеется однородное магнитное поле с индукцией B

(РИС. 25.3).

Угол между v и B равен α. По какой траектории будет двигаться частица?

Запишем II закон Ньютона для данной частицы

 

 

 

 

ma F2 ,

(25.4)

где F q vB

. Сила F и ускорение a изображены на РИС. 25.3А, Б в разных проек-

2

 

 

2

 

циях.

204

 

 

 

O R

α

 

m, q

 

 

m, q

а

б

Рис. 25.3

Сила F2 перпендикулярна скорости частицы, так же направлено и ускорение, т. е.

a = an – нормальное ускорение. Следовательно, вдоль оси, параллельной линиям магнитной индукции, частица будет двигаться равномерно, а в проекции на плоскость, перпендикулярную линиям магнитной индукции (плоскость РИСУНКА 25.3Б)

– по окружности.

Спроецируем векторное равенство (25.4) на нормаль к проекции траектории частицы на плоскость, перпендикулярную линиям магнитной индукции:

ma

q

n

 

По известной формуле кинематики (2.3)

тории;

 

2

 

 

 

v

qv

 

m

 

B

 

R

 

 

 

 

 

vBsinα

 

 

v

2

a

 

 

 

n

 

R

 

 

R

.

, где v = v sin α, R – радиус траек-

mv

.

 

 

qB

 

Можно также найти шаг спирали, по которой движется частица. При q < 0 траектория будет закругляться в другую сторону. Демонстрация: Электронно-лучевая трубка

3.8.2. Действие магнитного поля на проводник с током

 

 

Рассмотрим участок проводника длиной dl, находящий-

 

 

ся в магнитном поле с индукцией B , по которому идёт

 

 

ток I (РИС. 25.4). Заряд носителей равен q (будем счи-

q

 

тать, что в проводнике движутся положительно заря-

I

женные частицы), скорость упорядоченного движения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

– v . На каждый носитель магнитное поле действует с

 

 

силой

 

F q vB . Всего на данном участке проводника

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 25.4

находится dN носителей заряда, их общий заряд

 

 

 

 

 

 

 

dQ q dN .

Сила, с которой магнитное поле действует на все эти заряды,

 

 

dF F dN q vB dN dQ vB .

 

 

А

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

205

Представим

v

dl

dt

 

 

тогда

 

 

так как I

dQ

.

dt

 

 

(направим

dl в сторону упорядоченного движения зарядов),

 

dl

 

 

dQ

 

 

 

 

 

 

 

dFА dQ

 

B

 

 

 

dl,B

I

dl,B

,

dt

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Закон Ампера:

dF

I dl,B

,

А

 

 

где dFА – сила Ампера – сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током.

ПРИМЕР

Взаимодействие прямых проводов с токами

Имеются два прямых параллельных длинных провода с токами I1 и I2, текущими в одну сторону (РИС. 25.5А). Расстояние между проводами равно d. Найти силу, с которой магнитной поле одного провода действует на отрезок другого провода единичной длины.

Направление индукции магнитного поля B1

провода с током I1 в точках, через ко-

торые проходит провод с током I2, и индукции магнитного поля

B2 провода с то-

ком I2 в точках, через которые проходит провод с током I1;

dF21

– сила, с которой

поле провода с током I1 действует на элемент тока dl2 ; dF12

– сила, с которой поле

провода с током I2 действует на элемент тока dl1

показаны на РИС. 25.5А.

I1

I2

I1

 

I2

 

 

 

 

 

 

d

 

d

а

 

б

 

Рис. 25.5

 

По закону Ампера

dF12

I

2

dl

 

 

2

dF21

I

dl

 

 

1

1

,B

,

dF12 I2B1dl2 ,

1

 

 

 

 

I1B2dl1.

,B

 

dF21

2

 

 

 

206

Модули магнитной индукции (см. ПРИМЕР 1) В РАЗДЕЛЕ 3.7.2)

B1

 

μ

I

, B2

μ

I

 

.

0

1

 

 

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πd

 

 

 

 

2πd

 

При l1 = l2 = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F12 F21

 

μ

I

I

 

.

 

0

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2πd

 

 

 

При одинаково направленных токах провода притягиваются. При разнонаправленных токах I1, I2 (РИС. 25.5Б) провода отталкиваются (формула для модуля силы взаимодействия проводов будет той же).

Демонстрация: Взаимодействие прямых токов

3.8.3. Рамка с током в магнитном поле

Поместим прямоугольную рамку 1234 с током I в однородное магнитное поле с

индукцией B ; нормаль к плоскости рамки расположена под углом α к линиям магнитной индукции (РИС. 25.6А). Равнодействующая сил Ампера, с которыми магнитное поле действует на все четыре стороны рамки, равна нулю, но суммарный момент сил нулю равен не будет – рамка будет разворачиваться вокруг оси, перпендикулярной линиям магнитной индукции.

 

4

I

 

 

 

 

 

3

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α I

 

 

 

 

 

 

 

1

 

α

 

2

 

 

z

 

2

 

 

 

 

 

а

 

 

 

б

 

 

 

Рис. 25.6

 

 

 

 

Найдём момент сил Ампера – момент пары сил

F12

и F34

. Пусть ось, перпендику-

лярная линиям магнитной индукции – ось z проходит через сторону 12. Единственная сила, которая имеет ненулевой момент относительно этой оси, это сила

F

. Её момент

34

M M34

 

 

l23 F34

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M34 l23F34 sinα l23IBl34 sinα IBS sinα ,

где S = l23l34 – площадь рамки;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

p B

 

,

 

(25.5)

 

 

 

m

 

 

где

207

p

ISn

m

 

– магнитный момент рамки – характеристика замкнутого проводника (контура) с током (n – нормаль к поверхности рамки);

[pm] = А·м2.

Вектор магнитного момента показан на РИС. 25.6Б – вид со стороны 23 рамки. Направление магнитного момента выбирается в соответствии с направлением тока в рамке по правилу правого винта.

Соотношение (25.5) справедливо и для рамки произвольной формы. Магнитное поле стремится развернуть рамку с током так, чтобы её магнитный момент был направлен вдоль линий магнитной индукции.

Демонстрации: 1) Рамка с током в магнитном поле

2)«Сознательные» катушки

3.8.4.Работа силы Ампера

1. Работа при повороте рамки с током в магнитном поле

Рассмотрим рамку с током, находящуюся в однородном магнитном поле (см. ПРЕДЫДУЩИЙ РАЗДЕЛ). Чтобы повернуть рамку на угол dα, внешние силы должны совершить работу

здесь M чено на часовой

 

*

*

dα Mdα Mdα pmBsinαdα ,

 

 

δA

M

 

*

– момент внешних сил, вектор углового перемещения dα

обозна-

M

РИС. 25.6Б и направлен «на нас», так как угол принято отсчитывать против стрелки; M pmBsinα по формуле (25.5).

Приращение энергии контура в магнитном поле при повороте на малый угол dα

dW δA*

Энергия контура

pmBsinαdα

.

W

 

 

m

 

p Bsinαdα

pmBcosα

const

.

Положим константу в этой формуле равной нулю; получим

 

W p

B

,

 

 

 

m

 

 

W p

Bcosα

.

 

m

 

 

 

График зависимости W(α) представлен на РИС. 25.7.

W

α = 0 – устойчивое равновесие;

α = π – неустойчивое равновесие.

 

0

π α

Рис. 25.7

208

Лекция 26

3.8.4. Работа силы Ампера (продолжение)

2. Работа при перемещении проводника с током в магнитном поле

Пусть прямолинейный проводник длиной l, по которой идёт ток I, движется в магнитном поле. Магнитное поле действует на провод-

ник с силой Ампера F I l,B . Работу будет совершать составляющая этой силы, лежащая в плоскости перемещения проводника,

F IlB ,

где B – компонента вектора магнитной индукции, перпендикулярная плоскости движения проводника (РИС. 26.1).

Работа магнитного поля по перемещению проводника на малое расстояние dx (соответствующее перемещению dr )

δA F dr F dx IlB dx IB dS IdΦ,

l

I

dx

Рис. 26.1

здесь dS – площадь поверхности, ометаемой проводником при малом перемещении dx (заштрихованная область на РИС. 26.1), dΦ – магнитный поток сквозь эту поверхность.

При перемещении проводника из положения 1 в положение 2

 

 

2

 

 

 

A

 

IdΦ .

 

 

 

 

1

 

 

При I = const

 

 

 

 

 

 

 

A IΔΦ

.

(26.1)

Это выражение мощно обобщить на случай проводника произвольной формы.

В РАЗДЕЛЕ 3.8.1 мы пояснили, что сила Лоренца не совершает работы. Почему же совершает работу сила Ампера, которая есть суперпозиция сил Лоренца, с которыми магнитное поле действует на отдельные носители заряда в проводнике? На самом деле работу совершает не магнитное поле, а источник тока.

3. Работа при перемещении контура с током в магнитном поле

 

 

Пусть имеется замкнутый проводник с током

1

 

1′

I, находящийся в магнитном поле. Проводник

 

 

 

 

перемещается из положения 12 в положение

 

 

 

1′2′ (РИС. 26.2). Найдём работу магнитного

I

 

I

поля по перемещению двух половин этого

Φ0

Φ1

Φ2

контура – 12 и 21 по формуле (26.1):

 

 

 

A A12 A21 I Φ1 Φ0 I Φ2 Φ0

 

 

 

I Φ2 Φ1 ,

2

 

2′

где Φ1 – магнитный поток сквозь поверх-

 

Рис. 26.2

 

ность, ограниченную контуром 12, Φ2 – кон-

 

 

 

туром 1′2′, Φ0 – контуром 11′2′2 (РИС. 26.2);

 

 

 

A IΔΦ ,

209

здесь ΔΦ = Φ2 – Φ1 – разность магнитных потоков сквозь поверхности, натянутые на проводящий контур в начальном и конечном положении.

3.9. Электромагнитная индукция

3.9.1. Закон Фарадея-Максвелла

Пусть в пространстве существует переменное магнитное поле. I уравнение Максвелла

Edl

B

dS

t

L

S

 

 

 

.

Левая часть этого уравнения равна ЭДС в произвольном замкнутом контуре L:

Edl E

L

,

а правая (с точностью до знака) – скорости изменения магнитного потока сквозь произвольную поверхность S, натянутую на контур L:

 

B

dS

t

S

 

 

 

 

 

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

BdS

 

t

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

E

dΦ

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Φt

.

(26.2)

– закон Фарадея-Максвелла; Ei – ЭДС индукции.

Явление электромагнитной индукции – возникновение электрического поля в замкнутом контуре при изменении магнитного потока сквозь поверхность, натянутую на этот контур. ЭДС индукции – энергетическая характеристика этого поля.

В замкнутом проводнике, помещённом в переменное магнитное поле, будет со-

здаваться индукционный ток.

Правило Ленца: направление индукционного тока таково, чтобы компенсировать вызвавшее индукционный ток изменение магнитного потока. Правило Ленца выражается знаком «–»в выражении закона Фарадея-Максвелла.

Явление электромагнитной индукции можно трактовать как возникновение вихревого электрического поля при переменном магнитном поле.

Получим закон Фарадея-Максвелла из других опытных законов.

1) Вывод закона Фарадея-Максвелла из закона сохранения энергии

Проводник с током I (ток создаётся источником с

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

ЭДС E) движется в однородном магнитном поле с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

индукцией B , перпендикулярной плоскости движе-

E

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ния проводника (РИС. 26.3). Энергия источника рас-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ходуется на совершение механической работы и

 

 

 

 

 

 

Рис. 26.3

увеличение внутренней энергии проводника – в

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тепло:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Aист Aмех Q .

 

 

 

 

 

 

(26.3)

По определению ЭДС, работа источника при прохождении через источник малого заряда dq

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности